Natuurkunde.nl - Opgave speciale relativiteit vwo natuurkunde

Deze opgave is afkomstig uit het hoofdstuk Relativiteit van de methode Systematische Natuurkunde vwo 6 (8e editie) van uitgeverij ThiemeMeulenhoff bv.

Een heliumkern krijgt tijdens een supernova een totale energie van 3,5 nJ.

Vraag a. Toon aan dat de rustenergie van een heliumkern gelijk is aan 6,0·10⁻¹⁰ J.

De rustenergie bereken je met de bekendste formule van Einstein:

$E = mc^2$

In BINAS tabel 25A vind je: m = 4,0026 u

$E = 4,\!0026 \cdot 1,\!6605 \cdot 10^{-27} \cdot (2,\!9979 \cdot 10^8)^2 = 6,\!008 \cdot 10^{-10} \text{ J} \approx 6,\!0 \cdot 10^{-10} \text{ J}$

Vraag b. Toon aan dat je de snelheid van de heliumkern moet berekenen met relativistische mechanica.

Je moet met relativistische mechanica rekenen als de kinetische energie in de buurt komt van de rustenergie.

De kinetische energie is het verschil tussen de totale energie en rustenergie:

$E_k = E_{tot} - E_{rust} = (35 - 6) \cdot 10^{-10} = 2,\!9 \cdot 10^{-9} \text{ J}$

De kinetische energie is zelfs groter dan de rustenergie, dus je moet relativistische mechanica gebruiken.

Vraag c. Bereken de snelheid van de heliumkern.

Om de snelheid te bepalen, hebben we de gammafactor nodig. Deze kunnen we bepalen met de volgende formule:

$E_{tot} = \gamma \cdot mc^2$

Verder weten we:

$E_{tot} = 3,\!5 \cdot 10^{-9} \text{ J} \> \wedge \> mc^2 = 6,\!0 \cdot 10^{-10} \text{ J}$

Hieruit volgt:

$\gamma = \frac{3,\!5 \cdot 10^{-9}}{6,\!0 \cdot 10^{-10}} = 5,\!833$

Oftewel:

$5,\!833 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \rightarrow 1 - \frac{v^2}{c^2} = \Big(\frac{1}{5,\!833}\Big)^2$

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{5,\!833^2} \rightarrow v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{5,\!833^2}}$

En dus:

$v = 0,\!985 \cdot c \approx 0,\!99 c$

Deeltjes uit een supernova (relativiteit)