Deeltjes in een magneetveld

Onderwerp: Relativiteitstheorie (vwo)

Goed opletten bij berekening van energie van deeltjes in een magneetveld.

Deze opgave is afkomstig uit het hoofdstuk Relativiteitstheorie van de methode Newton van uitgeverij ThiemeMeulenhoff bv.

In een radioactief preparaat bevindt zich een isotoop die β-deeltjes uitzendt. Om de energie van deze deeltjes te bepalen stuurt men ze door een magneetveld loodrecht op de bewegingsrichting. De β-deeltjes gaan daardoor een gedeelte van een cirkelbaan doorlopen. De opstelling staat schematisch in figuur 1.

Newton_beta_figuur_1
Figuur 1: De gebruikte opstelling, met daarin de baan van het deeltje aangegeven.

Voor de straal van de cirkelbaan geldt de ‘klassieke’ formule:

Bev=mv2rr=mvBe

De GM-telbuis is zo opgesteld dat de straal r van de baan 8,0 cm is. De telbuis meet de grootste hoeveelheid deeltjes per 10 s bij een magnetische veldsterkte B = 46 mT.

Vraag a. Bereken met bovenstaande gegevens de ‘klassieke’ snelheid van de β-deeltjes.

v=rBem=0,080461031,60210199,11031=6,5108 m/s

De uitkomst is in tegenspraak met het feit dat deeltjes niet sneller kunnen gaan dan de lichtsnelheid. De massa die je voor het elektron gebruikt hebt, is de rustmassa en dat is niet juist bij zulke snelheden.

Vraag b. Bereken de snelheid nog eens met behulp van de relativistische massa in plaats van de rustmassa.

v=rBem

m=γm0=m01v2c2

v=rBe1v2c2m0

Uitwerken geeft:

1v2c2=m0vrBe

1v2c2=v2m02r2B2e2c2v21=c2m02r2B2e2

c2v2=c2m02+r2B2e2r2B2e2v2c2=r2B2e2c2m02+r2B2e2

v=r2B2e2c2m02c2+r2B2e2

Invullen geeft nu:

v=2,7108 m/s

Vraag c. Bereken de relativistische massa.

γ=11v2c2=112,723,02=2,3

m=γm0=2,39,11031=2,11030 kg

Vraag d. Bereken de totale energie en de kinetische energie van de β-deeltjes in MeV.

E=mc2=2,11030(3,0108)2=1,91013 J=1,2 MeV

E0=m0c2=9,11031(3,0108)2=0,821013 J=0,51 MeV

Ek=EE0=(1,90,8)1013 J=1,11013 J=0,67 MeV

Voor de absorptie van energie van de deeltjes in het preparaat en in hun baan door de lucht naar de teller moeten we nog een correctie van 0,08 MeV toepassen.

Vraag e. Bereken de kinetische energie na correctie.

Ek=0,67+0,08=0,75 MeV