Drie waarnemers in een ruimtetijddiagram

Onderwerp: Relativiteitstheorie (vwo)

Niet alle waarnemers zijn in hetzelfde referentieframe, wat is het gevolg?

Deze opgave is afkomstig uit het hoofdstuk Relativiteitstheorie uit de methode Newton van uitgeverij Thieme-Meulenhoff bv.

In figuur 1 zie je twee bewegende waarnemers A en B in een ruimtetijddiagram van waarnemer C.

Newton_opgave_65_figuur_1
Figuur 1: Wereldlijnen van twee waarnemers A en B in het systeem van een waarnemer C
Vraag a. Hoe zie je dat de afstand AB constant is?

De wereldlijnen van waarnemer A en B lopen evenwijdig aan elkaar. Ze bewegen dus met dezelfde snelheid en hun onderlinge afstand is constant.

Vraag b. Hoe groot is de afstand AB gezien vanuit het systeem van C?

Op t=0 is A bij C en B op een afstand van 3,0 ls, dus is hun onderlinge afstand 3,0 ls.

Vraag c. Bepaal de snelheid waarmee A en B bewegen volgens C.

De waarnemers leggen 1,0 ls af in 3,0 s dus hun snelheid is:

$v = \frac{1}{3} \cdot c = \frac{1}{3} \cdot 3,\!0 \cdot 10^8 = 1,\!0 \cdot 10^8 \text{ } ^m/_s$

Vraag d. Bepaal de afstand AB in de systemen van A en B.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1^2}{8^2}}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = 1,\!06$

In het systeem van C is de afstand AB 3,0 ls. Dat is in het systeem van A en B:

$\gamma \cdot \text{AB} = 1,\!06 \cdot 3,\!0 = 3,\!2 \text{ ls}$

In figuur 1 zie je dat de waarnemers A en B hun klokken gelijkzetten door een lichtsignaal heen en weer te sturen.

Vraag e. Geef in de figuur aan waar A zich bevindt op het moment dat het lichtsignaal door B weerkaatst wordt.

Newton_opgave_65_figuur_2

Vraag f. Op welk tijdstip t'B in het systeem van A of B wordt het lichtsignaal door B weerkaatst?

Aflezen:

$t_\text{B} = 3,\!0 \text{ s} \rightarrow t'_\text{B} = \gamma \cdot t_\text{B} = 1,\!06 \cdot 3,\!0 = 3,\!2 \text{ s}$