Lees onderstaand artikel.
Ruimtelift?
Wetenschappers van de TU-Delft en ESA (European Space Agency) in Noordwijk hebben modelstudies uitgevoerd naar de haalbaarheid van een zogenaamde Ruimtelift naar geostationaire satellieten.
Geostationaire satellieten bevinden zich namelijk op een vaste plaats boven de evenaar vanaf de aarde gezien. Een kabel tussen de aarde en een geostationaire satelliet kan niet, omdat de satelliet dan door de kabel naar beneden getrokken wordt. Maar zou een langere kabel met een contragewicht wel kunnen?
Hierover gaat de haalbaarheidsstudie naar de ‘ruimtelift’: langs een lange
kabel duizenden kilometers omhoog klimmen. Wat je nodig hebt is een strakke
kabel en een slimme manier van klimmen.
Kabel
In figuur 2 is de gravitatiekracht op een voorwerp als functie van de hoogte boven het aardoppervlak weergegeven. Ook is de middelpuntzoekende kracht weergegeven die nodig is voor dat voorwerp als het beweegt met dezelfde omlooptijd als de aarde.
Opgaven
a) Bereken de geostationaire hoogte.
De modelstudie gaat uit van een kabel, die veel langer is dan de geostationaire hoogte, met daaraan een grote massa B die met de aarde meedraait. Zie figuur 3.
In dat geval staat de kabel strak gespannen.
c) Leg dat uit met behulp van figuur 2 en figuur 3.
Klimmen
Vervolgens hebben de wetenschappers een modelstudie gedaan naar de lift die langs de kabel naar boven zal gaan. Hierbij is de lift voorzien van een brandstofmotor. Het model berekent de massa van de aanwezige brandstof als functie van de hoogte, als de lift met constante snelheid omhoog beweegt. Het model staat als tekstmodel en als grafisch model weergegeven in figuur 4 en figuur 5. Je kunt zelf kiezen welke je gebruikt.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
− Omschrijf wat wordt berekend in modelregel 8 (tekstmodel) / in formule I (grafisch model).
− Vul modelregel 9 / formule II aan op een print van figuur 4 of figuur 5.
− Geef aan hoe je kunt zien aan de modelregels / formules dat de snelheid v niet verandert.
De resultaten van het model staan weergegeven in figuur 6 als de lift begint met 10 · 103 kg brandstof (gestippelde lijn) en met 5,0 · 103 kg brandstof (getrokken lijn). Je ziet dat bij de lift die begint met 10 · 103 kg brandstof op het eind 1,2 · 103 kg brandstof over is en dus 8,8 · 103 kg verbruikt is.
Een lift die start met minder dan 8,8 · 103 kg (bijvoorbeeld 5,0 · 103 kg) komt ook boven en heeft zelfs brandstof over.
d) Leg uit dat de lift dan boven komt. Gebruik daarbij modelregels (tekstmodel) of formules (grafisch model).
Het model gaat uit van een lift met constante snelheid. In werkelijkheid kan dat niet. Volgens een ander model start de lift met voldoende brandstof vanuit stilstand en neemt de snelheid toe zoals weergegeven in figuur 7. Na 1,0 dag is de massa van de lift met brandstof gelijk aan 6,0 · 103 kg.
e) Bepaal met behulp van een print van figuur 7 de resulterende kracht op de lift op t = 1,0 dag.
f) Bepaal met behulp van een print van figuur 7 de hoogte van de lift boven de aarde op t = 1,0 dag.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Op de geostationaire hoogte geldt:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ F_G &= F_{mpz} \\ G \cdot \frac{m_A m_s}{r^2}=\frac{m_sv^2}{r} \\ G\cdot \frac{m_A}{r}=v^2\end{aligned}}$
Hierin is v de snelheid, waarvoor geldt:
$v=\frac{2\pi r}{T}$
Invullen geeft:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ G\cdot \frac{m_A}{r} &= \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} \\ r^3 &= \frac{G m_A T^2}{4\pi^2}\end{aligned}}$
Het is een geostationaire satelliet. De omlooptijd is dan dus 24 uur. Invullen geeft voor de baanstraal:
$r=\left(\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24} \cdot (24\cdot 3600)^2}{4\pi^2} \right )^{\frac{1}{3}}=4,223\cdot 10^7~\mathrm{m}$
Dit is de baanstraal. Gevraagd is echter de hoogte. We moeten de straal van de aarde hier dus nog afhalen. Dat geeft:
$h=r-r_A=4,223\cdot 10^7 - 6,371\cdot 10^6 = 3,58\cdot 10^7~\mathrm{m}$
Uitwerking vraag (b)
Massa B beschrijft een cirkel. Daarvoor is een nettokracht nodig die gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht. In figuur 2 zien we dat voor een hoogte groter dan de geostainaire hoogte de middelpuntzoekende kracht veel groter is dan de gravitatiekracht. Er moet dus nog een kracht op massa B werken. Dit is de spankracht in de kabel. Wanneer de kabel aan massa B trekt, zal massa B ook aan de kabel trekken en is de kabel dus strak gespannen.
Uitwerking vraag (c)
- Met de regel dW = Fmotor*dx wordt de arbeid berekend die de motorkracht verricht wanneer de lift een afstand dx verplaatst.
- Hier moet komen te staan hoeveel brandstof er verloren gaat als er dW aan arbeid verricht is. Dat is te berekenen met behulp van de verbrandingswarmte: dm_brandstof = dW / verbrandingswarmte.
- Er is geen enkele formule waarin v verandert wordt. De snelheid blijft dus gelijk.
Uitwerking vraag (d)
De gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht zijn beide afhankelijk van de massa. Zie hun formules op regel 3 en 4 van figuur 4. Hierdoor zal de motorkracht bij een lichtere lift kleiner zijn.
Volgens regel 8 van figuur 4 zal daardoor de verrichte arbeid ook kleiner zijn. Er is dus minder brandstof nodig.
Hierdoor is het mogelijk dat een lift met minder brandstof toch boven komt!
Uitwerking vraag (e)
Voor de resulterende kracht geldt de tweede wet van Newton: Fres = ma. De versnelling volgt uit de helling in het (v,t)-diagram. Aangezien de helling niet constant is moeten we een raaklijn tekenen op t = 1,0 dag. Zie onderstaand figuur:
Voor de versnelling geldt dan:
$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{18-6,2}{(1,88 - 0)~\mathrm{dagen}}=\frac{11,8}{1.88\cdot 24\cdot 3600}=7,26\cdot 10^{-5}~\mathrm{ms}^{-2}$
De resulterende kracht is:
$F_{res}=ma=6,0\cdot 10^3\cdot 7,26\cdot 10^{-5}=4,4\cdot 10^{-1}~\mathrm{N}$
Uitwerking vraag (f)
De afstand volgt uit het (v,t)-diagram door de hoogte te bepalen. Dit kan op meerdere manieren. Eén manier is om eerst de gemiddelde snelheid te schatten. Zie daarvoor onderstaande figuur.
De gemiddelde snelheid die hier geschat is ligt net boven de 8 ms-1. Tot ongeveer 0,42 dagen ligt die snelheid wat hoger dan de werkelijke snelheid, en daarna wat lager. Hieruit volgt een afgelegde afstand van:
$s=v\cdot t=8,2\cdot 1,0\cdot 24\cdot 3600 = 7,1\cdot 10^5~\mathrm{m}$
Je had de oppervlakte ook kunnen bepalen door hokjes te tellen. Eén hokje komt overeen met 0,2 dagen lang een snelheid van 2 ms-1 aanhouden. Oftewel:
$s_{hokje}=v\cdot t=2\cdot 0,2\cdot 24\cdot 3600=3,46\cdot 10^4~\mathrm{m}$
Ik tel onder de streep ongeveer 20 hokjes. Dat komt overeen met een afstand van:
$s=20\cdot s_{hokje}=6,9\cdot 10^5~\mathrm{m}$
Hoewel de antwoorden verschillen, vallen ze beide binnen de marge die in het correctiemodel gehanteerd wordt. Beide antwoorden zijn dus goed!
