Volgens de hedendaagse quantumfysica geeft figuur 1 de waarschijnlijkheid per volume-eenheid om het elektron op een afstand r van de kern aan te treffen. Langs de verticale as staat:
$\frac{\Delta P}{\Delta V}(r)$
hierin is $\Delta P$ de bijdrage die het volume $\Delta V$ levert aan de totale waarschijnlijkheid.
Vraag a. Leg uit waarom de oppervlakte onder de grafiek niet gelijk is aan 1.
$\frac{\Delta P}{\Delta V}(r)$ geïntegreerd over r kan geen 1 zijn, omdat op de verticale as de kans per volume staat en langs de horizontale as de afstand tot de kern.
De grafiek geeft de bijdrage van een stukje volume op een afstand r aan de totale kans. Er worden dus eigenlijk bolsegmenten gemaakt op een afstand r en die worden opgedeeld in stukjes volume. Maar hoe groter de straal, hoe groter het bolsegment, en hoe meer stukjes volume er aanwezig zijn. Om de totale kans te krijgen moet dus nog bekend zijn hoeveel stukjes volume er op die afstand r staan.
Vraag b. Leg uit dat als $\frac{\Delta P}{\Delta V}$ wordt geïntegreerd over de gehele ruimte rond het atoom het resultaat wel 1 moet zijn.
Het elektron moet zich ergens bevinden, de kans dat het zich ergens in de ruimte bevindt is dus gelijk aan 1 (of 100%). Om de totale waarschijnlijkheid om het elektron ergens aan te treffen moet $\frac{\Delta P}{\Delta V}$ worden geïntegreerd over de gehele ruimte en niet alleen over r.
In "de gehele ruimte" zit in principe de informatie over hoeveel stukjes volume er op die afstand r zijn.
Met $\frac{\Delta P}{\Delta r}(r)$ wordt de waarschijnlijkheid bedoeld om het elektron aan te treffen ergens in een bolschil met dikte $\Delta r$ en op afstand $r$ vanaf de kern.
Deze waarschijnlijkheid wordt gevonden door $\frac{\Delta P}{\Delta V}(r)$ te vermenigvuldigen met $4\pi \cdot r^2$ .
Vraag c. Leg dit uit.
De oppervlakte van een bol op afstand r van de kern is gelijk aan : $4\pi \cdot r^2$
Het volume van een bolschil met dikte dr op een afstand r van de kern is dus gelijk aan: $4\pi \cdot r^2 \cdot dr$
Daarom is:
$\int 4\pi \cdot r^2 \cdot \frac{\Delta P}{\Delta V} \cdot dr$
wel een integraal over het gehele volume.
De grafiek van $\frac{\Delta P}{\Delta r}(r)$ staat afgebeeld in figuur 2.
Vraag d. Verklaar de vorm van deze grafiek.
Bekijk de formule:
$\int 4\pi \cdot r^2 \cdot \frac{\Delta P}{\Delta V} \cdot dr$
In de buurt van de kern is $4\pi \cdot r^2$ klein, vandaar de dip in het midden van de grafiek.
Op grotere afstand gaat $\frac{\Delta P}{\Delta V}$ naar 0 (zie figuur 1), dus de grafiek als geheel ook.
Ergens daar tussenin is de grafiek maximaal.
Uit berekeningen blijkt dat het maximum van deze grafiek toevallig (?!?) precies op een afstand van 1 bohrstraal ao van de kern ligt.
Vraag e. Controleer dit in de grafiek.
Dit klopt.
