In de trein van Zwolle naar Amersfoort loopt een conducteur naar voren met een snelheid van 1,5 m/s. De trein heeft een snelheid van 140 km/uur. De conducteur legt in de trein een afstand af van 45 meter. Hans, die voor een spoorwegovergang wacht, meet de tijd die de conducteur daarvoor nodig heeft. Je wilt weten hoeveel seconden dit verschilt met wat de conducteur zelf meet.
Vraag a. Bereken de tijd Δt' die de conducteur zelf meet.
In het stelsel van de trein kost het de conducteur:
$\Delta t' = \frac{45}{1,\!5} = 30 \text{ s}$
Vraag b. Bereken uit de snelheid van de trein ten opzichte van Hans de waarde van β.
De relatieve snelheid tussen de trein en Hans is:
$v_{\text{rel}} = 140 \text{ km/uur} = 38,\!89 \text{ m/s}$
Er geldt:
$\beta = \frac{v}{c} = \frac{38,\!89}{2,\!998 \cdot 10^8} = 1,\!30 \cdot 10^{-7}$
Vraag c. Bereken met de formule voor de tijdrek de tijdsduur die Hans meet. De tijdrekfactor is γ .
Invullen in de formule:
$t = \gamma t' = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \cdot t'$
geeft:
$t = \frac{1}{\sqrt{1-(1,\!30 \cdot 10^{-7})^2}} \cdot 30 = 30 \text{ s}$
Omdat β heel erg klein is, heb je bij opdracht c waarschijnlijk geen verschil gevonden met de tijdsduur die de conducteur meet. Voor heel kleine waarden van β kun je de formule voor de tijdrek:
$\Delta t = \gamma \Delta t'$
schrijven als:
$\Delta t = \Delta t' (1+\frac{1}{2}\beta^2)$ .
Vraag d. Toon dit aan, maak hierbij gebruik van de volgende benaderingen:
$\sqrt{1+a} \approx 1 + \frac{1}{2}a \text{ en } \frac{1}{1+a} \approx 1-a$
als a veel kleiner is dan 1.
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \approx \frac{1}{1-\frac{1}{2}\beta^2} \approx 1+\frac{1}{2}\beta^2$
Invullen geeft:
$\Delta t = \gamma \Delta t' \approx (1+\frac{1}{2}\beta^2) \cdot \Delta t'$
Vraag e. Bereken met deze formule voor de tijdrek het verschil tussen de tijd die de conducteur meet en de tijd die Hans meet.
$\Delta t = \Delta t' \cdot (1 + \frac{1}{2}\beta^2) = \Delta t' + \frac{1}{2}\Delta t' \beta^2$
Hieruit volgt:
$\Delta t - \Delta t' = \frac{1}{2} \Delta t' \beta^2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot (1,\!30 \cdot 10^{-7})^2 = 2,\!5 \cdot 10^{-13} \text{ s}$
Dat is een kleiner tijdsverschil dan met de tot nu toe nauwkeurigste klok gemeten kan worden.
