Dubbelspleet­experiment (quantum)

Onderwerp: Quantumwereld

Interfereren elektronen in het dubbelspleetexperiment met elkaar?

Deze opgave komt uit de lesmethode Nova Natuurkunde 6 vwo|gymnasium, uit het hoofdstuk Quantumwereld. Uitgeverij: Malmberg.

Met het dubbelspleet-experiment is het golfkarakter van elektronen aan te tonen.

Vraag a. Beschrijf de opstelling van het dubbelspleet-experiment.

Er is een bron die (in dit geval) elektronen met één bepaalde energie afvuurt op een barrière met daarin twee smalle, lijnvormige openingen (spleten). Achter deze barrière en parallel daaraan is een scherm geplaatst. Dit scherm kan een fotografische plaat zijn of een detector die meet hoeveel elektronen op een bepaalde positie terecht komen.

In 1989 voerde Akira Tonomura een experiment uit om aan te tonen dat elektronen in het dubbelspleet-experiment niet met elkaar interfereren. Daarvoor zorgde Tonomura dat er op elk moment ten hoogste één elektron in zijn opstelling aanwezig was. Per seconde werden er 1000 elektronen afgevuurd die door een spanning van 50 kV waren versneld.

Vraag b. Bereken hoeveel tijd er gemiddeld tussen twee afgevuurde elektronen zat.

$\frac{1}{1000} = 0,\!0010 \text{ s} = 1,\!0 \text{ ms}$

Vraag c. Bereken op basis van de versnelspanning met welke snelheid de elektronen op de dubbelspleet werden afgevuurd.

De energie is gelijk aan:

$50 \cdot 10^{3} \text{ eV} = 50 \cdot 10^{3} \cdot 1,\!6022 \cdot 10^{-19} \text{ J} = 8,\!0 \cdot 10^{-15} \text{ J}$

Dat wordt de kinetische energie van de elektronen en die is gelijk aan:

$E_{k} = \frac{1}{2} mv^{2} \rightarrow v = \sqrt{\frac{2E_{k}}{m}}$

Invullen geeft:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 8,\!0 \cdot 10^{-15}}{9,\!1 \cdot 10^{-31}}} = 1,\!3 \cdot 10^{8} \text{ ms}^{-1}$

Vraag d. Bereken hoe groot de onderlinge afstand van de elektronen zou zijn geweest als ze ongehinderd door konden vliegen.

Met die snelheid leg je in die tijd af:

$s = v \cdot t = 1,\!3 \cdot 10^{8} \cdot 0,\!0010 \text{ s} = 1,\!3 \cdot 10^{5} \text{ m}$

Ruim honderd kilometer dus.

Vraag e. Klopt de bewering dat er ten hoogste één elektron in de opstelling was? Gebruik hierbij dat de opstelling een lengte had van 2 meter.

De opstelling is slechts enkele meters groot, dus er is zeker ten hoogste één elektron op één moment in de opstelling.

In figuur 1 zie je op verschillende tijdstippen het patroon dat ontstaat achter de dubbelspleet.

Dubbelspleet_figuur_1
Figuur 1: Het resultaat van het dubbelspleetexperiment op verschillende momenten. Bron: http://www.hitachi.com/rd/portal/highlight/quantum/
Vraag f. Leg uit hoe je aan figuur 1e kunt zien dat er sprake is van interferentie. Vergelijk hiervoor het patroon in de afbeelding met het patroon dat je zou verwachten als elektronen zich als klassieke deeltjes gedragen.

Als de elektronen zich als klassieke deeltjes zouden gedragen, dan zou direct achter elk van de twee spleten een hoge concentratie elektronen verschijnen: twee vertikale banden met veel elektronen. Dat is nu niet het geval. Er zijn plaatsen waar juist meer elektronen terechtkomen dan verwacht en plaatsen waar er juist minder terechtkomen dan verwacht. Dat is bij interferentie van (water)golven ook het geval. Er zijn dan plaatsen van constructieve en destructieve interferentie.

Vraag g. Leg uit dat op basis van dit experiment geconcludeerd kan worden dat elektronen niet met elkaar interfereren.

Aangezien er wel interferentie is, maar er ten hoogste één elektron in het apparaat is, kunnen de elektronen niet met elkaar interfereren.

Vraag h. Hoe kan de uitkomst van het experiment verklaard worden met de golfbeschrijving van elektronen. Maak in je antwoord gebruik van de begrippen ‘waarschijnlijkheid’ en ‘waarschijnlijkheidsverdeling’.

De uitkomst kan met de golfbeschrijving van elektronen als volgt worden verklaard. Elk elektron moet met een golf beschreven worden. Die golf gaat door beide openingen en de twee delen van de golf interfereren met elkaar. Ter hoogte van het scherm zal de golf op sommige plaatsen een grote amplitude hebben (constructieve interferentie) en op andere een amplitude nul (destructieve interferentie). Die amplitude bepaalt de waarschijnlijkheid waarmee een enkel elektron wordt aangetroffen. Als er maar genoeg elektronen door het apparaat zijn gegaan, wordt zo het patroon zichtbaar uit de afbeelding. De golven vormen dus een waarschijnlijkheidsverdeling langs het scherm: die verdeling bepaalt de waarschijnlijkheid waarmee een elektron op een bepaalde positie langs het scherm aangetroffen kan worden.