Emissielijnen van waterstof (quantum)

Onderwerp: Quantumwereld

Formule van Bohr en emissie-overgangen voor het waterstofatoom

Deze opgave komt uit de lesmethode Nova Natuurkunde 6 vwo|gymnasium, uit het hoofdstuk Quantumwereld. Uitgeverij: Malmberg.

De emissielijnen van waterstof vertonen een zekere mate van regelmaat zie

figuur 1.

Waterstoflijnen_figuur_1
Figuur 1: De emissielijnen van waterstof met de golflengte op logaritmische schaal. Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_spectral_series#/media/File:Hydrogen_spectrum.svg

Voor deze emissielijnen geldt het volgende experimentele verband:

$f \sim \frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$

Met m en n gehele getallen, waarbij n > m en ~ als teken voor evenredig met.

Vraag a. Laat zien dat dit verband volgt uit de formule van Bohr voor de energieniveaus van het waterstofatoom.

De formule van Bohr is:

$E_{n} = - \frac{13,\!6}{n^{2}}$

De emissielijnen ontstaan doordat een elektron overgaat van de ene toestand naar de andere, waarbij het energieverschil wordt uitgestraald. Om dat energieverschil te bepalen, neem je de formule van Bohr met twee verschillende gehele getallen, waarna je het verschil berekent:

$-13,\!6 \cdot \Big( \frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \Big)$

De frequenties bereken je met:

$E_{f} = h \cdot f \rightarrow f = \frac{E_{f}}{h}$

De frequenties zijn dan:

$\frac{\Delta E}{h} = - \frac{13,\!6}{h} \cdot \Big(\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \Big)$

Dit is inderdaad evenredig met:

$\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$

Vraag b. Zoek in Binas tabel 20 het spectrum van waterstof op. Schrijf de drie grootste golflengtes op.

656 nm; 486 nm; 434 nm

Vraag c. Welke energieovergangen komen met deze drie golflengtes overeen? Geef voor elke overgang de waarden van de energieniveaus (1, 2, etc.). Controleer je antwoord met behulp van Binas tabel 21A.

1. 656 nm komt overeen met een energie van:

$E = \frac{hc}{\lambda} = 3,\!028 \cdot 10^{-19} \text{ J} = \frac{3,\!028 \cdot 10^{-19}}{1,\!6022 \cdot 10^{-19}} \text{ eV} = 2,\!006 \text{ eV}$

Dat is het 0,1390e deel van 13,6 eV. Nu is de kunst dit opgebouwd te zien als:

$\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$

Het invullen van mogelijke waarden geeft:

Van 2 naar 1:  $\frac{1}{4} - \frac{1}{1} = -0,\!75 \not= -0,\!139$

Van 3 naar 1:  $\frac{1}{9} - \frac{1}{1} = -0,\!888 \not= -0,\!139$

Van 3 naar 2:  $\frac{1}{9} - \frac{1}{4} = -0,\!139$

Dat is de goede overgang. Binas tabel 21A bevestigt dat.

2. De andere golflengtes gaan op dezelfde manier:

486 nm komt overeen met 0,1876 van 13,6 eV.

Je probeert nog wat overgangen:

Van 4 naar 3 is –0,0486

Van 4 naar 2 is –0,1875

Van 4 naar 1 is –0,94.

Conclusie: het is van 4 naar 2.

3. 434 nm komt overeen met –0,21 van 13,6 eV.

Van 5 naar 2 levert:  $\frac{1}{25} - \frac{1}{4} = -0,\!21$

Binas tabel 21B bevestigt dat het gaat om de overgang van 5 naar 2.

Een waterstofatoom bevindt zich in een aangeslagen energietoestand waarvoor

n = 3, en valt terug naar de grondtoestand.

Vraag d. Bereken de energie van het foton dat bij deze overgang wordt uitgezonden.

Hier kun je de formule gebruiken waarin de energie van de niveaus is gegeven, uitgedrukt in elektronvolt (eV):

$E_{n} = - \frac{13,\!6}{n^{2}}$

De overgang is van n = 3 naar n = 1, dus van –1,51 eV naar –13,6 eV.

Het verschil is 12,1 eV.

In SI-eenheden is dat 12,1 ∙ 1,6022∙10–19 J = 1,94∙10–18 J.

Vraag e. Bereken de frequentie van het foton en geef aan om welk soort straling het gaat.

De frequentie is gelijk aan:

$f = \frac{E_{f}}{h} = \frac{1,\!94 \cdot 10^{-18}}{6,\!626 \cdot 10^{-34}} = 2,\!92 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$

Dat is uv-straling.