Zowel atomen als kernen kunnen zijn aangeslagen en bij het terugvallen in de grondtoestand elektromagnetische straling uitzenden. Bij atomen ligt die energie in de orde van eV, bij kernen in de orde van MeV. Met het eendimensionale doosje als model kun je begrijpen waarom deze energieën zo verschillen.
Vraag a. Geef een argument waarom deze twee ‘systemen’ te zien zijn als een eendimensionaal doosje.
Antwoord a
Het zijn eigenlijk driedimensionale systemen, maar in beide gevallen kun je kijken naar de afstand vanuit het midden als enige relevante dimensie. Het zijn ‘doosjes’ waarin alleen de afstand tot de kern van belang is.
Vraag b. Noem één eigenschap van beide systemen die niet door het eendimensionale doosje worden beschreven.
Antwoord b
In werkelijkheid kunnen de deeltjes in drie dimensies bewegen. Er zullen dan ook drie quantumgetallen zijn, niet één zoals bij het ééndimensionale doosje.
Een quantumdeeltje in een eendimensionaal doosje valt terug van n = 2 naar
n = 1.
Vraag c. Leidt een verband af voor de energie uitgezonden door het quantumdeeltje.
Antwoord c
Voor de energie in een ééndimensionaal doosje geldt:
$E_{n} = \frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}$
Het deeltje valt terug van n = 2 naar n = 1, dus het zendt een energie uit (foton) van:
$E_{\text{f}} = E_{2} - E_{1}$
Invullen geeft:
$E_{\text{f}} = \frac{2^{2}h^{2}}{8mL^{2}} - \frac{1^{2}h^{2}}{8mL^{2}} = \frac{3h^{2}}{8mL^{2}}$
Het atoom heeft een afmeting in de orde van 10–10 m, de kern in de orde van
10–15 m.
Vraag d. Hoeveel keer zo groot zou de energie van de door de kern uitgezonden fotonen zijn, als de massa van de quantumdeeltjes hetzelfde was? Gebruik je antwoord op vraag c.
Antwoord d
Dan zou het enige verschil de factor L2 in de noemer van de formule uit vraag c zijn.
Dat zou een factor 1010 verschil in energiewaarde opleveren.
Vraag e. Houd nu rekening met het verschil in massa en ga na of het verschil overeenkomt met de bewering uit de inleiding van deze opgave. Gebruik je antwoord op vraag c.
Antwoord e
Weliswaar is L2 een factor 1010× zo klein in het geval van een kern, maar de massa van een kerndeeltje is ongeveer 2000× zo groot.
Dat reduceert de factor tot:
$\frac{10^{10}}{2000} = 5 \cdot 10^{6}$
Dat klopt met het experimentele feit dat het om eV’s respectievelijk MeV’s gaat.
