Quantumdeeltje in 1D-doosje (quantum)

Onderwerp: Quantumwereld

Onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg en een quantumdeeltje in 1D-doosje

Deze opgave komt uit de lesmethode Nova Natuurkunde 6 vwo|gymnasium, uit het hoofdstuk Quantumwereld. Uitgeverij: Malmberg.

De onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg geldt ook voor een quantumdeeltje in een eendimensionaal doosje. Bij iedere toestand van het eendimensionale doosje hoort één bepaalde golflengte van de golffunctie.

Vraag a. Leg met behulp van de debroglie-relatie uit dat de grootte van de impuls dan één bepaalde waarde heeft.

Er is één waarde voor:

$p = \frac{h}{\lambda}$

omdat er maar één golflengte is.

Vraag b. Beredeneer hoe groot de gemiddelde impuls is.

Die gemiddelde waarde is nul, want het deeltje beweegt net zoveel de ene als de andere kant op: het komt niet uit het ‘doosje’

Vraag c. Leg uit dat Δp niet gelijk aan nul kan zijn.

Uit de onbepaaldheidsrelatie volgt dat een quantumdeeltje niet een welbepaalde plaats of impuls kan hebben. (Anders klopt het >-teken niet)

Stel dat een elektron zich in een eendimensionaal doosje bevindt met:

L = 1,0·10–10 m.

Vraag d. Bereken voor de grondtoestand de grootte van de impuls van het elektron.

In de grondtoestand geldt:

$\lambda = 2L = 2,\!0 \cdot 10^{-10} \text{ m}$

Er past dan immers een halve golflengte in het doosje.

Dan is de impuls:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6,\!626 \cdot 10^{-34}}{2,\!0 \cdot 10^{-10}} = 3,\!3 \cdot 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1}$

Vraag e. Welke orde van grootte heeft Δp?

De impuls die je bij d hebt berekend is de afwijking van het gemiddelde: de impuls is gelijk aan

$p = - \frac{h}{\lambda} \text{ (deeltje beweegt naar links)}$

ofwel

$p = \frac{h}{\lambda} \text{ (deeltje beweegt naar rechts)}$

Dus:

$\Delta p = 3,\!3 \cdot 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1}$

Vraag f. Controleer of voldaan is aan de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.

Er zijn twee manieren:

Manier 1

$\Delta p = \frac{h}{\lambda} \text{ en } \Delta x = L = \frac{\lambda}{2}$

Hieruit volgt:

$\Delta p \Delta x = \frac{h}{2} > \frac{h}{4\pi}$

Manier 2

$\Delta x = L = 1,\!0 \cdot 10^{-10} \text{ m} \text{ en } \Delta p = 3,\!3 \cdot 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1}$

Hieruit volgt:

$\Delta x \Delta p = 1,\!0 \cdot 10^{-10} \cdot 3,\!3 \cdot 10^{-24} = 3,\!3 \cdot 10^{-34} \text{ kg m}^{2}\text{s}^{-1}$

We weten ook dat:

$\frac{h}{4\pi} = \frac{6,\!626 \cdot 10^{-34}}{4\pi} = 0,\!53 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$  

3,3 is groter dan 0,53, dus er is voldaan aan de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.