Elektron in een waterstofatoom (quantum)

Onderwerp: Quantumwereld

Met de onbepaaldheidsrelatie de afmeting van het waterstofatoom schatten.

Deze opgave komt uit de lesmethode Nova Natuurkunde 6 vwo|gymnasium, uit het hoofdstuk Quantumwereld. Uitgeverij: Malmberg.

Een elektron in een waterstofatoom ondervindt de coulombkracht van het proton. Met de onbepaaldheidsrelatie kun je een schatting maken van de afmeting van het waterstofatoom. Het doel is het vinden van de grondtoestand: de laagste energietoestand. De totale energie van het elektron is de som van de kinetische en potentiële energie: Ekin + Epot = E. De potentiële energie is de elektrische energie ten gevolge van de coulombkracht tussen elektron en proton.

Vraag a. Leg uit dat het wat potentiële energie betreft optimaal zou zijn wanneer de golffunctie een heel smal piekje is bij de kern.

De potentiële energie is de elektrische energie. Daarvoor geldt dat deze lager is als twee tegengestelde ladingen dicht bij elkaar zitten. Een heel smal piekje in de golffunctie zou betekenen dat het elektron gemiddeld genomen altijd vlak bij de kern zal worden aangetroffen.

Vraag b. Leg uit dat het wat kinetische energie betreft juist optimaal zou zijn als de golffunctie heel uitgebreid is, met een zo groot mogelijke golflengte.

Uit:

$\lambda = \frac{h}{p}$

volgt dat bij grote golflengtes, de impuls juist klein is.

Als de impuls klein is, is de kinetische energie ook klein, want:

$p = mv \text{ en } E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^{2}$

Voor de (totale) energie van een elektron in een waterstofatoom geldt:

$E = \frac{p^{2}}{2m} - f\frac{e^{2}}{r}$

Vraag c. Leg met behulp van de onbepaaldheidsrelatie uit dat het elektron niet een bepaalde impuls p en afstand tot de kern r heeft.

Als een van de twee een welbepaalde waarde zou hebben, zou de spreiding nul zijn. Dat is volgens de onbepaaldheidsrelatie niet toegestaan.

Vraag d. Leg uit dat het onzinnig is de gemiddelde waarden van p en r in te vullen.

De gemiddelde waarde is in beide gevallen nul: voor de positie geldt dat het elektron zich aan beide kanten van de kern kan bevinden, zodat er net zo vaak positieve als negatieve bijdragen aan het gemiddelde zijn. Ook voor de snelheid geldt dat deze beide kanten op kan zijn en dat het gemiddelde van positieve en negatieve waarden nul oplevert.

Als maat voor p en r kun je de spreiding in deze grootheden invullen: Δp en Δr.

Vraag e. Leg met behulp van de formule voor de totale energie uit dat in de grondtoestand zowel Δp als Δr zo klein mogelijk moeten zijn.

In de grondtoestand is de totale energie van het elektron zo klein mogelijk. De positie moet steeds zo dicht mogelijk bij de kern zijn. Een grotere spreiding zou betekenen dat het elektron gemiddeld ver weg zit. Dat geldt ook voor de impuls: een gemiddeld grote absolute waarde van de impuls zou overeenkomen met een grote kinetische energie.

Vraag f. Gebruik de onbepaaldheidsrelatie om de energie uit te drukken in termen van Δp. Ga uit van het gelijkteken in de onbepaaldheidsrelatie en gebruik Δr in plaats van Δx.

Elimineer Δr door deze uit te drukken in termen van Δp:

$\Delta r = \frac{h}{4\pi \Delta p}$

Invullen levert:

$E = \frac{(\Delta p)^{2}}{2m} - \frac{4\pi fe^{2} \Delta p}{h}$

Vraag g. Vind door differentiëren naar Δp het minimum van de energie en de bijbehorende waarde voor Δp. Gebruik vervolgens de onbepaaldheidsrelatie om Δr uit te rekenen.

Differentiëren naar Δp geeft:

$\frac{dE}{d\Delta p} = \frac{2\Delta p}{2m} - \frac{4\pi fe^{2}}{h} = \frac{\Delta p}{m} - \frac{4\pi fe^{2}}{h}$

Door dit gelijk te stellen aan 0 krijgen we:

$\frac{\Delta p}{m} = \frac{4\pi fe^{2}}{h} \rightarrow \Delta p = \frac{4\pi fe^{2}m}{h}$

Uit de onbepaaldheidsrelatie volgt dat:

$\Delta r = \frac{h}{4\pi \Delta p} = \frac{h^{2}}{16\pi^{2}fe^{2}m}$

Invullen geeft:

$\Delta r = 1,\!3 \cdot 10^{-11} \text{ m}$

Vraag h. Vergelijk je antwoord voor Δr bij vraag h met de bohrstraal van het waterstofatoom (zie Binas). Verklaar een eventueel verschil door na te gaan welke vereenvoudigingen je hierboven hebt gemaakt.

De in Binas gegeven straal is wel van dezelfde orde van grootte, maar niet hetzelfde: 4× zo groot. Ten eerste kan dit verschil komen doordat het gelijkteken in de onbepaaldheidsrelatie is gebruikt. Ten tweede, omdat het elektron zich niet op een bepaalde plek met een bepaalde impuls bevindt, maar met een bepaalde kans ergens kan worden aangetroffen met een bepaalde impuls. Dat zorgt er voor dat de energie gemiddeld ook anders is. Daar hoort dan ook een andere (gemiddelde) afstand tot de kern bij.