Planetoïden, soms ook asteroïden genoemd, zijn brokstukken die zich net als planeten in een baan om de zon bewegen. Hun doorsnede varieert van veel minder dan 1 km tot zo'n 1000 km.
De titel van deze opgave verwijst naar de dubbel-planetoïde die, voor zover nu bekend, het dichtste bij de zon komt.
Uit radarbeelden blijkt dat deze dubbel-planetoïde uit twee brokstukken bestaat die om elkaar heen draaien. De grote wordt α genoemd, de kleine β. Zie figuur 1.
Hieronder staan een aantal onderzoeksgegevens over 1999 KW4:
- De massa van α is 2,6 · 1012 kg.
- De (maximale) diameter van α is 1,5 km.
- De (maximale) diameter van β is 0,5 km.
- De omlooptijd van β om α is 17,4 uur.
- De gravitatieversnelling op de evenaar van α is 4,3 · 10-4 ms-2.
- De rotatietijd van α (de tijd waarin hij om zijn as draait) is 2,5 uur.
Sommige hemellichamen blijken voornamelijk uit ijzer te bestaan.
Opgaven
a) Ga met behulp van een schatting na of dat voor α aannemelijk is.
De benodigde middelpuntzoekende kracht om β in zijn baan om α te houden, wordt geleverd door de gravitatiekracht. Voor de omlooptijd T van β geldt de wet van Kepler:
$\frac{GM}{4\pi^2}=\frac{r^3}{T^2}$
Hierin is:
- M de massa van α;
- r de afstand tussen α en β;
- T de omlooptijd.
De massa van α die in het kader staat, is berekend met de wet van Kepler uit de waargenomen afstand tussen α en β.
b) Bereken hoe groot de afstand tussen α en β is.
De wetenschapsjournalist Karel Knip schrijft in het NRC-Handelsblad dat α bij deze rotatietijd net niet "uit elkaar spat". Bij een kleinere rotatietijd zou dat net wel gebeuren. Bij die rotatietijd Trot zouden losliggende stenen op de evenaar niet blijven liggen.
c) Bereken rotatietijd Trot.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
We nemen aan dat we het volume van α kunnen schatten als een bol. Het volume is dan gelijk aan:
$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (0,75\cdot 10^3)^3=1,8\cdot 10^9~\mathrm{m}^3$
De dichtheid van α is dan:
$\rho_{\alpha}=\frac{m}{V}=\frac{2,6\cdot 10^{12}}{1,8\cdot 10^9}=1,4\cdot 10^3~\mathrm{kgm}^{-3}$
De dichtheid van ijzer is 7,87 · 103 kgm-3. De hypothese is dus erg onaannemelijk!
Uitwerking vraag (b)
Gebruik de wet van Kepler:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ \frac{GM}{4\pi^2}=\frac{r^3}{T^2} \\ r=\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2} \right )^{1/3} \\ r=\left(\frac{6,67\cdot 10^{-11} \cdot 2,6\cdot 10^{12}\cdot (17,4\cdot 3600)^2}{4\pi^2} \right )^{1/3} \\ r &= 2,6\cdot 10^3~\mathrm{m}\end{aligned}}$
Uitwerking vraag (c)
De baansnelheid van α volgt uit de middelpuntzoekende versnelling:
$a_{mpz}=\frac{v^2}{r} \rightarrow v = \sqrt{a_{mpz}\cdot r}=\sqrt{4,3\cdot 10^{-4}\cdot 7,5\cdot 10^2}=0,568~\mathrm{ms}^{-1}$
Voor de baansnelheid geldt ook:
$v=\frac{2\pi r}{T_{rot}}$
Hieruit volgt:
$T_{rot}=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi 7,5\cdot 10^2}{0,568} = 8,3\cdot 10^2~\mathrm{s}=2,3~\mathrm{h}$
