Kleurstof in een CD-R (voorbeeldexamen quantum)

Onderwerp: Quantumwereld

Voorbeeld examenvraag quantummechanica VWO

Begin met het lezen van de vetgedrukte tekst.

CD-R_figuur_1
Figuur 1: Iedereen kent hem wel, de CD-R

In CD’s zit de informatie vastgelegd met putjes in het glanzende metaaloppervlak. Bij een CD-R, (R van Recordable) een beschrijfbare CD is het anders. Daar is de laag glad en bevat een bepaalde kleurstof. Bij een onbeschreven CD-R is deze kleurstoflaag doorzichtig. Als je op één plaats de laag verhit, met een korte laserpuls, wordt de kleurstof op die plaats ondoorzichtig zodat er geen licht meer door kan. Door korte pulsen van de schrijflaser kan informatie zo worden weggeschreven in de vorm van doorzichtige en ondoorzichtige ‘spots’.

CD-R_figuur_2
Figuur 2: Doorsnede van een CD-R

Deze opgave maakt onderdeel uit van de serie voorbeeldexamenvragen quantumwereld zoals die door het comité voor toetsing en examen (CvTE) zijn verspreid. Kijk voor meer van deze opgaven aan de rechterkant van het beeldscherm bij de gerelateerde opgaven.

Om een ‘spot’ te branden is een hoeveelheid energie nodig van $1,5\cdot 10^{-9} \text{J}$ . Deze wordt in de vorm van een korte lichtpuls door een brandlaser geleverd. Neem aan dat het rendement van deze energieoverdracht honderd procent is. De tijdsduur van een laserpuls is gelijk aan de tijdsduur tussen twee laserpulsen. De laser heeft een vermogen van 75 mW.

Vraag a. Bereken het maximum aantal ‘spots’ dat de laser per seconde kan branden.

Er geldt:

$E=Pt$

Wat kan worden herschreven tot:

$t=\frac{E}{P}$

Invullen geeft:

$t=\frac{1,5\cdot 10^{-9}}{75\cdot 10^{-3}}=2,0\cdot 10^{-8} \text{ s}$

Het aantal spots per seconde is gelijk aan de halve frequentie, en invullen geeft:

$n=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2,0\cdot 10^{-8}} = 2,5\cdot 10^{7}$
Het rendement kan zeer hoog zijn als de spot een kleurstof bevat die in staat is licht te absorberen van dezelfde frequentie als dat van de laser. Voor dit doel worden cyanine-kleurstoffen gebruikt. Figuur 3 laat een aantal van deze moleculen zien. In zo’n molecuul is steeds een aantal vrije elektronen aanwezig. Deze elektronen zitten opgesloten tussen de eindgroepen. Deze opsluiting is te beschrijven als deeltjes in een eendimensionale energieput met lengte L. Zie figuur 4.
CD-R_figuur_3
Figuur 3: Enkele moleculen van cyanine-kleurstoffen
CD-R_figuur_4
Figuur 4: Weergave van de opsluiting van de elektronen in de moleculen van figuur 3

De onderlinge afstand tussen de C-atomen en de C- en N-atomen is steeds p; de afstand tussen de N-atomen en de eindgroep is steeds q.

In figuur 5 is lengte L uitgezet tegen het aantal C-atomen in de keten. De stippellijn is de trendlijn door de punten, de vergelijking van de trendlijn staat ook gegeven.

CD-R_figuur_5
Figuur 5: De lengte van de energieput uitgezet tegen het aantal C-atomen
Vraag b. Bepaal de waarde van p en van q.

Als x het aantal C-atomen is, kan de lengte L geschreven worden als:

$L=(x+1) p +2q$

Wegwerken van de haakjes geeft:

$L=px +p + 2q$

Dit moet onafhannkelijk van de ingevulde x-waarde gelijk zijn aan de formule van de trendlijn:

$y=0,14x + 0,51$

Hieruit volgt:

$p=0,14 \text{ }\wedge \text{ } p+2q = 0,51$

Dit levert de volgende waardes voor p en q:

$p=014\text{ nm}\text{ } \wedge \text{ } q=0,19\text{ nm}$

Het aantal vrije elektronen dat tussen de eindgroepen beweegt, hangt ook af van het aantal C-atomen in de keten. Dit is in figuur 6 weergegeven.

CD-R_figuur_6
Figuur 6: Het verband tussen het aantal vrije elektronen en de hoeveelheid C-atomen in de keten
Vraag c. Beredeneer of het aantal elektronen per lengte-eenheid toeneemt, afneemt of gelijk blijft als de keten langer wordt.

Er zijn meerdere methoden om tot het goede antwoord te komen:

Methode 1:

Reken twee punten uit, bijvoorbeeld x=3 en x=11

Dit levert:

$x=3 \rightarrow \frac{n}{L}=\frac{6}{0,95}=6,4$

en:

$x=11 \rightarrow \frac{n}{L}=\frac{14}{2,1}=6,7$

Het aantal vrije elektronen per lengte-eenheid neemt dus toe.

Methode 2:

Combineren van:

$L=0,14c+0,5124 \text{ }\wedge \text{ } n=c+3$

geeft:

$\frac{n}{L}=7,14-\frac{6,66}{L}$

En dus neemt n/L toe als L groter wordt.

Methode 3:

Vergelijken van de formules voor L in figuur 5 en voor n in figuur 6, laat zien dat n bij een toename van het aantal C-atomen sterker toeneemt dan L.

$1 \text{x vs } 0,14\text{x}$

Als L toeneemt wordt n/L dus groter.

Voor de energieniveaus van de elektronen gelden de volgende regels:

− De energiewaarden van de niveaus kunnen berekend worden met het model ‘deeltje in een eendimensionale energieput’.

− Er zitten maximaal twee elektronen in hetzelfde energieniveau.

− De niveaus worden van onderaf opgevuld.

In figuur 7 zijn de energieniveaus van de elektronen bij vijf verschillende ketenlengtes weergegeven.

CD-R_figuur_7
Figuur 7: Energieniveaus van de elektronen in verschillende ketens

Bij een ketenlengte met 5 C-atomen zijn de niveaus 1, 2 en 3 weggelaten.

Vraag d. Voer de volgende opdrachten uit:
− Bereken de hoogte van de energie van de niveaus 1, 2 en 3 bij een ketenlengte van 5 C-atomen.
− Teken de energieniveaus in de figuur.

Methode 1:

De energieniveaus zijn evenredig met  $n^{2}$  en bij 5C lezen we af:

$n=4 \rightarrow E=4\text{ eV}$

De waarde voor n=1 is hiervan 1/16-e deel:

$n=1\rightarrow E=0,25\text{ eV}$

Hieruit volgt:

$E_{2}= 4\cdot E_{1}= 1,0\text{ eV} \wedge E_{3}=9\cdot E_{1} = 2,3\text{ eV}$

Methode 2:

$E_{n}=n^{2}\cdot \frac{h^{2}}{8mL^{2}}$

Uit figuur 5 halen we:

$L=1,21 \text{ nm}$

Invullen geeft:

$E_{1}=1\cdot \frac{(6,63\cdot 10^{-34})^{2}}{8\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot (1,21\cdot10^{-9})^{2}}=4,19\cdot10^{-20}\text{ J}=0,26 \text{ eV}$

En hiermee kunnen de andere energieën worden berekend:

$E_{2}= 4\cdot E_{1}= 1,0\text{ eV} \wedge E_{3}=9\cdot E_{1} = 2,3\text{ eV}$

Nu kunnen de energie-niveaus ingetekend worden:

CD-R_antwoord_d

Absorptie van licht vindt plaats als een elektron in het hoogste gevulde niveau naar een niveau hoger springt. In figuur 7 is dit steeds met een pijl weergegeven. De CD-R heeft een brand-laser met een golflengte van 800 nm.

Vraag e. Bepaal met behulp van figuur 7 welk van deze moleculen daarbij het beste als kleurstof kan worden gebruikt. Licht je antwoord toe met een berekening.

De energie van een foton wordt gegeven door:

$E=\frac{hc}{\lambda}$

Invullen geeft:

$E=\frac{6,626\cdot10^{-34}\cdot 2,998 \cdot 10^{8}}{800\cdot 10^{-9}}=2,483 \cdot 10^{-19}\text{ J}=1,55\text{ eV}$

De stippellijn in de figuur moet overeenkomen met deze energie. Dit is bij 9C.