In de film Spiderman 2 stopt de held Spiderman een op hol geslagen trein met behulp van draden gesponnen uit spinrag. Zie figuur 1.
Engelse natuurkundestudenten van de Universiteit van Leicester hebben berekend of het spinrag van een gewone spin hiervoor sterk genoeg is. In deze opgave gaan we deze berekening in stappen na.
De studenten veronderstelden dat een trein zonder spinnendraden eenparig vertraagd tot stilstand komt. De trein in de film heeft een beginsnelheid van 25 ms-1 en wordt in 50 s tot stilstand gebracht. De massa van de trein met inzittenden is 2,0 * 105 kg.
Opgaven
a) Bereken de remafstand van de trein.
b) Bereken de resulterende kracht die nodig is om de trein af te remmen.
In de film gebruikt Spiderman draden van spinrag die hij links en rechts van de trein aan de gebouwen vast schiet. De eerste draden die Spiderman aan de gebouwen bevestigd heeft, maken een hoek α met de trein. Zie figuur 2. Deze figuur is niet op schaal.
Tijdens het afremmen verandert hoek α en worden de draden langer. De resulterende kracht F op de trein wordt hierdoor groter.
c) Leg uit waarom de resulterende kracht F groter wordt bij remmen als:
- hoek α verandert,
- de draden (elastisch) langer worden.
De snelheid van de trein zal niet eenparig afnemen omdat de resulterende kracht groter wordt. In figuur 3 staan drie (v,t)-grafieken.
d) Leg uit welke grafiek het snelheidsverloop van de trein tijdens het afremmen het beste weergeeft.
Als de draden maximaal zijn uitgerekt, is de spankracht in de linkerdraad 1,8 * 105 N. De (relatieve) rek van het spinrag van Spiderman is dan 40. Uit de film blijkt dat elk van de twee draden van het spinrag van Spiderman bestaat uit acht losse draden. De diameter van een van deze acht draden is 5,0 mm. De diameter is tijdens het remmen constant. Het sterkste spinrag dat in de natuur wordt gevonden, heeft een elasticiteitsmodulus van 12 GPa bij een (relatieve) rek van 40.
e) Leg met behulp van een berekening van de spanning uit of het spinrag dat in de natuur wordt gevonden minder sterk is dan, even sterk is als, of sterker is dan het spinrag van Spiderman.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Het is een eenparig vertraagde beweging. De gemiddelde snelheid is dan:
$v_g=\frac{v_b+v_e}{2}=\frac{25 + 0 }{2} = 12,5~\mathrm{ms}^{-1}$
De remafstand is:
$s=v_g\cdot t=12,5\cdot 50 = 625=6,3\cdot 10^2~\mathrm{m}$
Uitwerking vraag (b)
De versnelling die de trein ondervindt is:
$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0-25}{50}=-0,50~\mathrm{ms}^{-2}$
De resulterende kracht volgt uit de tweede wet van Newton:
$F=ma=2,0\cdot 10^5 \cdot (-0,50) = - 1,0\cdot 10^5~\mathrm{N}$
Uitwerking vraag (c)
- Als hoek α kleiner wordt, wordt de component van de spankracht die de beweging tegenwerkt steeds groter. Hierdoor zal de resulterende kracht groter worden.
- De spankracht in de kabels wordt groter als de kabels verder uitgerekt zijn, omdat de veerkracht in de draden recht evenredig is met de uitrekking. Hierdoor zal de resulterende kracht ook groter worden.
Uitwerking vraag (d)
De resulterende kracht wordt steeds groter, en dus zal de versnelling steeds groter worden. De lijn moet dus steeds steiler gaan lopen. Grafiek 3c is dus de goede grafiek.
Uitwerking vraag (e)
De spankracht van de linkerdraad van Spiderman is gegeven. De draad bestaat uit 8 losse draden. De spanning in een zo'n losse draad is:
$\sigma=\frac{F}{A}=\frac{\frac{1}{8}\cdot 1,8\cdot 10^5}{\pi (\frac{1}{2}\cdot 5,0\cdot 10^{-3})^2}=1,15\cdot 10^9~\mathrm{Pa}$
De spanning van het sterkste spinrag dat in de natuur wordt gevonden is:
$E=\frac{\sigma}{\epsilon}\rightarrow\sigma=\epsilon E=40\cdot 12\cdot 10^9 = 4,8\cdot 10^{11}~\mathrm{Pa}$
Dit is veel meer dan de sterkte van het spinrag van Spiderman. De spinrag uit de natuur is dus sterker dan de spinrag van Spiderman!
