Opgave
Een toon x wordt samengesteld uit een grondtoon a en één boventoon. De grondtoon en de boventoon zijn beide harmonische trillingen. De grondtoon en de samengestelde toon zijn hieronder weergegeven. In de figuur wordt de tijd weergegeven in ms.
a) Bepaal de frequentie van de grondtoon.
b) Bepaal de frequentie van de boventoon. Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
c) Teken het frequentiespectrum (r,f) diagram voor de samengestelde toon.
Uitwerking vraag (a)
We zien in de figuur dat drie complete sinussen 15 ms nodig hebben. Voor de trillingstijd geldt dus: T = 5,0 ms hiermee wordt de frequentie f = 1 / T = 1 / 0,005 = 200 Hz
Uitwerking vraag (b)
De grondtoon en de samengestelde toon in een figuur
In bovenstaande afbeelding zijn de twee signalen in een figuur weergegeven. Het is duidelijk te zien dat de samengestelde grafiek (blauw weergegeven) per periode zes keer dezelfde waarde heeft als de rode grafiek. Wanneer de samengestelde grafiek gelijk is aan de oorspronkelijke grafiek, dan is het toegevoegde signaal nul. Een sinus heeft twee keer per periode de waarde nul (precies aan het begin en halverwege). De frequentie van de boventoon is dus drie keer zo groot als de frequentie van de grondtoon. Ofwel fboven = 3 * f = 600 Hz
Uitwerking vraag (c)
De frequentie van beide tonen is bekend, in het frequentiespoectrum zijn twee pieken te zien (en niet meer dan twee), voor f = 200 Hz en f = 600 Hz. De amplitude van de boventoon kunnen we bepalen als we grondtoon en samengestelde toon met elkaar vergelijken. De amplitude van de boventoon bepaalt de grootte van het verschil tussen grondtoon en samengestelde toon. In de figuur bij antwoord b zien we dat het verschil maximaal 1,0 is.
In het frequentiespectrum wordt de onderlinge verhouding tussen de amplitudes kwadratisch weergegeven. Dat betekent dat de toon met de grootste amplitude per definitie een waarde 1 heeft. Dat is wel handig, op deze manier maakt het voor het frequentiespectrum niet uit hoe luid een toon gespeld wordt. Een tweede toon waarvan de amplitude half zo groot is, wordt vier keer zo klein getekend. In deze figuur zien we dat de piek bij 600 Hz (0,6 kHz) negen keer zo klein is als de piek bij 200 Hz (0,2 kHz). Dit is in overeenstemming met wat je mag verwachten.
Het frequentiespectrum van de samengestelde toon
