Lees het artikel in figuur 1.
Naar: De Gelderlander, 21 mei 2005.
Bij de start wordt de trein van de Kingda Ka op een horizontale baan versneld. In figuur 2 staat het (v,t)-diagram van de beweging op die horizontale baan.
Bij dit soort attracties wordt de versnelling op de passagiers vaak uitgedrukt in de valversnelling g.
Opgaven
a) Bepaal met behulp van figuur 2 de maximale versnelling die de passagiers ondervinden, uitgedrukt in de valversnelling g.
Op de horizontale baan van de achtbaan zorgt een elektromotor voor de aandrijving van de trein met passagiers. De massa van de trein met passagiers bedraagt 3,1·103 kg.
b) Bepaal het gemiddelde vermogen dat de elektromotor gedurende de eerste 3,5 s minimaal moet leveren.
Aan het einde van de horizontale baan werkt er geen aandrijvende kracht meer. Het (zwaartepunt van het) treintje gaat daarna 139 m omhoog. Natuurlijk moet de trein wel de top halen. Een bepaald percentage van de bewegingsenergie wordt tijdens de rit naar boven omgezet in warmte ten gevolge van de wrijving.
c) Bereken hoe groot dit percentage maximaal mag zijn.
In werkelijkheid is de snelheid op de top natuurlijk niet nul, maar zelfs zo groot dat de passagiers loskomen van hun stoeltje en met hun schouders tegen de sluitbeugels worden gedrukt. In figuur 3 zie je een treintje op de top van de baan.
Het stuk AB is een gedeelte van een cirkelbaan. Het stuk AB staat weergegeven in figuur 4. In deze figuur is de zwaartekracht op één pasagier getekend. Ook is op dezelfde schaal de middelpuntzoekende kracht op de top op deze passagier getekend. Wrijvingskrachten worden verwaarloosd. In de tekening ontbreekt nog een kracht op deze passagier.
d) Teken in figuur 4 deze ontbrekende kracht en geef deze kracht de juiste naam.
Het voorste karretje in figuur 3 (het dichtst bij punt A) heeft een lengte van 2,4 m.
e) Bereken hoe groot de snelheid op de top van de baan minimaal moet zijn zodat de passagier loskomt van zijn stoel. Bepaal daarvoor eerst in figuur 3 de straal van de cirkelbaan.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Versnelling (in meter per seconde kwadraat) is gelijk aan snelheid (in meter per seconde) gedeeld door tijd (seconde). Om uit een (v,t)-diagram de versnelling te halen, kies je een bepaald gebied en deel je het snelheidsverschil door het tijdverschil van dat gebied. In de opgave wordt gevraagd om de maximale versnelling. Versnelling is maximaal als de snelheid maximaal toeneemt en dat is het steilste gedeelte van de grafiek. Leg een liniaal langs het steilste stuk van de grafiek en trek een lijn. Neem nu twee punten op deze lijn en lees af welke snelheid en tijd daarbij horen. Het beste is twee punten zo vermogelijk bij elkaar vandaan, dus in dit geval: v = 0 m/s bij t = 0,7 s en v = 70 m/s bij t = 2,6 s. Met de volgende formule vindt je nu de versnelling:
Dit moet nog uitgedrukt worden in g. Daarom vermenigvuldigen we het antwoord met g / 9,81, wat eigenlijk gewoon vermenigvuldigen met 1 is. Dit levert het antwoord op:
Uitwerking vraag (b)
Het vermogen kan worden berekend met: P = E / t. Omdat we het gemiddelde vermogen moeten berekenen, trekken we het vermogen bij het begin af van het vermogen aan het eind van de periode, oftewel:
We weten de snelheid van het treintje (bij t = 0 geldt v = 0 en bij t = 3,5 s geldt v = 57 m/s, zoals te zien is in de grafiek), dus voor de energie gebruiken we de formule voor de kinetische energie:
Uitwerking vraag (c)
Er zijn in deze opgave drie soorten energie die meespelen: kinetische energie, potentiële energie en warmte-energie. De kinetische energie is voor de helling maximaal en bovenaan nul, want we gaan er vanuit dat het treintje bovenaan stilstaat. De potentiële energie, of zwaarte-energie, is onderaan de helling nul, en bovenaan maximaal. De warmte-energie is de energie die ontstaat door de wrijving tussen het treintje en de rails. Deze kunnen we berekenen door de andere twee energieën van elkaar af te trekken. We berekenen ze eerst apart.
Nu kunnen we deze twee van elkaar aftrekken en vervolgens nog uitrekenen hoeveel procent de warmte-energie is van de kinetische energie:
Uitwerking vraag (d)
Er is ook nog een kracht die ervoor zorgt dat de passagiers niet uit hun stoel vliegen: de normaalkracht. De beugels van de treintjes duwen de passagiers omlaag met deze kracht.
Uitwerking vraag (e)
Eerst bepalen we de straal van de cirkelbaan. Teken aan de voor- en achterkant van het treintje een lijn loodrecht op de rails en kijk waar ze elkaar kruisen. Daar is het middelpunt en vanaf daar meet je de straal tot aan de rails: 5,6 centimeter.
Omdat je weet hoe groot 1 karretje is (namelijk 2,4 meter) kun je de schaal berekenen. Het karretje is in de tekening 1,9 centimeter, dus de straal is: 5,6 · 2,4 / 1,9 = 7,1 m.
De minimale snelheid berekenen we nu met formules van de krachten. Net als de passagier loskomt van zijn stoel, drukt de beugel hem nog niet omlaag. Deze oefent dus nog even geen kracht uit, dus de normaalkracht kunnen we even buiten beschouwing laten. De andere twee krachten moeten elkaar opheffen: Fz = Fmpz, oftewel:
