Lees onderstaand artikel en bekijk figuur 1.
Het vliegtuig vliegt horizontaal op het ogenblik dat de stuntman uit het vliegtuig springt. Veronderstel dat er geen luchtweerstand zou zijn, zodat de sprong gezien kan worden als een vrije val met horizontale beginsnelheid.
Opgaven
a) Bereken welke beginsnelheid nodig is om van 9000 m hoogte 33 km ver te komen.
In werkelijkheid is er wel luchtweerstand. Deze hangt onder andere af van de dichtheid ρ van de lucht. Deze dichtheid hangt af van de hoogte. Zie figuur 2.
In werkelijkheid is op 7,9 km hoogte de maximale snelheid bereikt. De temperatuur is daar -40 ºC.
b) Bepaal de luchtdruk op deze hoogte.
Gebruik daarbij figuur 2 en de waarde van ρ in tabel 12 van Binas.
Veronderstel dat de baan van de stuntman in figuur 2 correct is weergegeven. In het punt waar de grootte van de snelheid maximaal is, geldt dat Fres ongelijk is aan nul.
c) Leg dit uit.
Hans maakt een model van de stuntvlucht (zonder het parachute-gedeelte).
Hij veronderstelt dat de zwaartekracht onafhankelijk van de hoogte is.
Voor de kracht die de lucht op de stuntman uitoefent, gebruikt hij de volgende formules:
Luchtweerstand tegengesteld aan de richting van de snelheid: Fwrijving = c1 · ρ · v2
Liftkracht loodrecht op de richting van de snelheid: Flift = c2 · ρ · v2
Hierin is:
- c1 en c2 een constante (in m2);
- ρ de dichtheid van de lucht (in kg/m3);
- v de snelheid van de stuntman (in m/s).
De kracht die de lucht op de stuntman uitoefent, ontbindt hij in een horizontale en een verticale kracht.
De grafiek van de dichtheid van figuur 2 benadert hij met de formule:
ρ(h) = 1,22 · e-h/k
Hierin is:
- h de hoogte boven de grond (in m)
- k een nog nader te bepalen constante (in m)
In onderstaande tabel staat een gedeelte van het model.
d) Leg met behulp van een vectortekening uit wat er in de tweede modelregel wordt uitgerekend.
e) Bepaal aan de hand van figuur 2 de startwaarde voor k.
f) Geef de modelregels 9 en 13.
In figuur 3 hieronder staat het (h,t)-diagram en het (v,t)-diagram die uit het model volgen. De grafieken zijn getekend tot het moment waarop de parachute geopend wordt.
g) Bepaal de afgelegde weg van de springer door de lucht tot het moment waarop hij de parachute opent. Gebruik daartoe één van de diagrammen.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De beweging van de stuntman kan worden opgedeeld in een horizontale en verticale component. Om de (horizontale) beginsnelheid vx te berekenen gebruiken we:
x = vxtvlucht.
De tijd tvlucht die de stuntman zich in de lucht bevindt moeten we hier dus eerst voor berekenen, zodat die in bovenstaande formule kan worden ingevuld. Deze tijd kunnen we berekenen met een formule voor de verticale beweging:
y = ½ gt2 geeft 9000 = ½ · 9,81 · tvlucht2.
=> t = √(2 · 9000 / 9,81) = 42,8 s.
Invullen in de eerste formule:
vx = x / tvlucht = (33 · 10 3) / 42,8 = 7,7 · 102 m/s.
Uitwerking vraag (b)
Er zijn twee methodes om deze opgave op te lossen:
Methode 1:
De druk p kunnen we berekenen met de ideale gaswet:
pV = nRT.
De hoeveelheid mol en de constante R zijn op iedere hoogte hetzelfde, deze zijn dus constant. Dit betekent dat voor alle andere grootheden in de vergelijking moet gelden:
pV / T= nR = constant.
Dit is constant en geldt dus op iedere hoogte, ook op de grond:
(pV / T)grond= nR = (pV / T)hoogte
Nu kunnen we voor het volume V van de lucht invullen: V = m / ρ, waarin m de massa is van de lucht en ρ de dichtheid van de lucht:
(p / ( ρT))grond = (p / ρT)hoogte. => (1,013 · 105) / (1,293 · 273) = p / (0,51 · 233)
=> p = 3,4 · 10 4 Pa
Methode 2:
Uit de grafiek volgt voor de dichtheid op 7,9 km hoogte: ρ = 0,51 kg/m3.
Uit tabel 12 blijkt dat ρlucht = 1,293 kg/m3 bij T = 273 K en p = 1,013 · 105 Pa.
Het volume van 1,293 kg lucht is 1,00 m3. Op 7,9 km hoogte heeft 1,293 kg lucht dus een volume van 1,293 / 0,51 = 2,54 m3.
Volgens de ideale gaswet geldt: (pV / T)grond = (pV / T)hoogte => 1,013 · 105 · 1,00 / 273 = p · 2,54 / 233
=> p = 3,4 · 104 Pa.
Uitwerking vraag (c)
In figuur 5 zien we dat de baan gekromd is. Dit betekent dat de snelheid van richting verandert. Om dit voor elkaar te krijgen is er een netto kracht nodig, oftewel: Fres ≠ 0.
Uitwerking vraag (d)
figuur 4
Een vector kan worden opgedeeld in 2 componenten die loodrecht op elkaar staan, dus in dit geval vx en vy. De totale vector kan dan worden uitgedrukt in deze componenten met behulp van de stelling van Pythagoras: v = √(vx + vy)
Uitwerking vraag (e)
Uit de grafiek kunnen de waarden van h en ρ worden afgelezen, die bij elkaar horen. Deze waarden kunnen we invullen in de formule die is gegeven en hieruit k vrijmaken. Neem bijvoorbeeld h = 7,9 km met daarbij ρ = 0,51 kg/m3, zodat 0,51 = 1,22e(-7900/k).
=> 0,51/1,22 = e(-7900/k)
=> ln(0,51/1,22) = (-7900/k)
=> k = -7900 / ln(0,51/1,22) = 9,1 · 103 m.
Uitwerking vraag (f)
figuur 5
figuur 6
Voor de totale kracht in de x-richting moeten we de liftkracht en de wrijvingskracht in deze richting optellen. Regel 9 wordt dus:
Fx = Fx_lift – Fx_wrijving
Voor de y-richting geldt hetzelfde, dus regel 13 wordt: Fy = Fz – Fy_lift – Fy_wrijving
Uitwerking vraag (g)
Het gemakkelijkste is om de (v,t)-grafiek te gebruiken. De afgelegde weg is namelijk gelijk aan de oppervlakte onder de v(t)-grafiek. Deze kun je bepalen door het aantal hokjes onder de grafiekte tellen.
De afgelegde weg komt overeen met de oppervlakte onder deze grafiek.
Deze oppervlakte is te benaderen door een rechthoek en een driehoek:
s = 65 · 430 + ½ · (95 – 65) · 430 = 34 · 103 m.
