Rook, van bijvoorbeeld een sigaret, bestaat voornamelijk uit kleine druppeltjes teerachtige stoffen. Zwevend in de lucht botsen deze druppeltjes voortdurend tegen elkaar en de omringende luchtmoleculen. Onderzoek naar het gedrag van gassen is altijd onderzoek doen naar veel deeltjes tegelijk. Maar alleen een volkomen gestoorde wetenschapper gaat natuurlijk met formules rekenen aan het grote aantal moleculen in een volume gas. Met de computer als hulpmiddel kunnen dit soort vraagstukken wel worden aangepakt. Het grote probleem wordt opgedeeld in vele kleine problemen, die stuk voor stuk kunnen worden opgelost. In deze bijles kijken we naar eigenschappen van een verzameling gasmoleculen.
Gebruiker krijgt meer inzicht in het begrip gasdrukt.Gebruiker krijgt meer inzicht in het gedrag van gas bij veranderende temperatuur en volume.Gebruiker maakt bewust gebruik van numerieke modellen om meer inzicht te krijgen in de algemene gaswet.
Eigenschappen van gassen
De snelheid van de rookdeeltjes en de gemiddelde afstand die ze afleggen tussen twee botsingen (de vrije weglengte), hangen af van het aantal luchtmoleculen per volume eenheid, en dus van de dichtheid van de lucht, de molaire massa en het getal van Avogadro.
Einstein berekende in een artikel uit 1905 op grond van een analyse van de Brownse beweging als eerste nauwkeurig het getal van Avogadro. Veel van de eigenschappen van de deeltjes hebben zo direct te maken hebben met de beweging van moleculen. Grootheden die hierbij een rol spelen zijn massa en snelheid van de deeltjes. Dat betekent dat allerlei grootheden die je aan een gas kunt meten, zoals druk (p) volume (V)en temperatuur (T), ook uit de gedetailleerde beweging van moleculen te berekenen moeten zijn.......
Maar alleen een volkomen gestoorde wetenschapper gaat natuurlijk met formules rekenen aan het grote aantal moleculen in een volume gas: je praat al snel over 10 22 moleculen!
Gelukkig maakt dat grote aantal het ook mogelijk met gemiddelden te werken: voor een dergelijk aantal kun je bijvoorbeeld betrouwbare uitspraken doen voor de gemiddelde snelheid, die verbonden is met het begrip temperatuur. Of over de gemiddelde kracht die botsende moleculen uitoefenen op een wand, dat levert informatie over de druk op. Of natuurlijk over de gemiddelde afstand tussen de moleculen, gekoppeld aan het volume van een gas.
We bekijken deze eigenschappen eerst één voor één.
Gedrag van gas: volume, druk en temperatuur
Druk
Druk op een wand wordt veroorzaakt door heel veel botsingen van gasmoleculen: je kunt het zien als een reeks kleine stootjes. Elk stootje levert gedurende een korte tijd een kracht F op de wand op, en al die stootjes bij elkaar dus een gemiddelde kracht Fgem. De druk p op de wand is niets anders dan deze gemiddelde kracht per oppervlakte eenheid dus:
p = Fgem / A
Rekenen aan deze druk kan dan door eerst te kijken naar het stootje van één molecuul. De impulsverandering voor één deeltje is dan:
Δ m . V =Δ F / A
Je ziet dat de kracht die per botsing wordt uitgeoefend, afhangt van de massa en van de snelheidsverandering van een molecuul. In de volgende Flashlet kun je dat onderzoeken.
Je kunt in deze simulatie de massa en de snelheid van de deeltjes zelf instellen, de uitgeoefende kracht per botsing en de gemiddelde kracht worden in een grafiek gezet. Hoe kun je de gemiddelde kracht zo groot mogelijk maken? (Als je computer het erg druk heeft kan de beweging wel eens wat trager gaan lopen....) |
- In het numerieke model van deze simulatie is aangenomen dat de moleculen elastisch vervormen volgens de wet van Hooke: de kracht is dan evenredig met de "indeuking" van het molecuul.
F=-c . u
- De massa van de wand wordt in het model maar als oneindig genomen.
- Als er een veel groter aantal deeltjes is zal de gemiddelde kracht redelijk constant blijven in de tijd, als je tenminste niets verandert aan de snelheid van de moleculen: bij deze elastische botsingen mag dus geen bewegingsenergie omgezet worden! We zullen straks zien dat dat betekent dat de temperatuur van het gas constant moet blijven.
- Ook wordt de afstand tussen de wanden constant gehouden, het volume mag dus niet veranderen. Als je de afstand wél vergroot wordt het aantal botsingen per tijdseenheid natuurlijk kleiner, bij gelijke snelheid van de moleculen, en daarmee daalt de gemiddelde druk. Als je de snelheid zou veranderen wordt de druk dus extra laag: zowel het aantal botsingen als de impulsverandering per botsing gaan immers omlaag.
- De potentiaalfunctie V(u) die hier wordt gebruikt is kwadratisch, de afgeleide functie, de kracht F(u) , is dan lineair met de afstand. We zullen later zien dat je voor realistische uitkomsten van zo'n simulatie beter een ingewikkelder krachtfunctie kunt gebruiken, de Lennard-Jones potentiaal.
- Omdat de kracht evenredig is met de afstand zal de beweging tijdens de botsing een deel van een harmonische trilling zijn: hoe zie je dat terug in de grafieken?
Sluit dit onderdeel voordat je verder gaat met de uitleg bij temperatuur>
Volume
De ruimte die een gas inneemt is natuurlijk afhankelijk van de vorm van de pan waar de deeltjes in zitten. Maar wat je misschien niet verwacht: óók van de eigenschappen van de moleculen: zijn ze groot of klein? Stoten ze elkaar af of trekken ze elkaar juist aan? Beide eigenschappen beïnvloeden het netto volume waar je in de gaswetten mee moet rekenen. In de volgende applet kun je het effect van dat excluded volume bekijken.
Kies in deze simulatie de temperatuur en het karakter van de deeltjes, beschrijf de optredende veranderingen. Je kunt in deze applet kiezen tussen puntdeeltjes en soepballen. De puntdeeltjes bewegen zonder elkaar te beïnvloeden, ze kunnen zelfs door elkaar heen bewegen. De soepballetjes stoten elkaar wel af, en dat beïnvloedt natuurlijk de druk in de pan en ook het netto gasvolume. Als de deeltjes zelf ruimte innemen is er immers minder "ruimte" . Je kunt voor een snel verglijk tussen soepballen en puntdeeltjes beter de GEMIDDELDE WISSEN. |
- Leg uit waarom soepballen een andere gemiddelde druk oplevert......
- De deeltjes nemen méér ruimte in dan hun getekende grootte, hoe komt dat?
Sluit dit onderdeel voordat je verder gaat met de uitleg bij volume.
Temperatuur
Er is je vast wel eens verteld dat er een allerlaagste temperatuur bestaat: het absolute nulpunt bij -273,15 °C. Misschien weet je ook dat die temperatuur berekend is nadat de drukverandering van een gas gemeten werd over een groot temperatuurbereik. Toen de temperatuur daalde, ging ook de druk van dat gas omlaag en dat ging zelfs lineair, als het volume constant gehouden werd. Dat betekent dat óf de massa (niet erg waarschijnlijk) óf de snelheid van de moleculen moest afnemen.
De metingen werden gedaan voor verschillende gassen. Telkens als de gemeten grafieklijn verlengd werd, sneed hij de x-as in hetzelfde punt.
Het is dan ook logisch dat het begrip temperatuur direct gekoppeld word aan de massa en de snelheid van de moleculen. Voor de meest eenvoudige moleculen, die we ons voorstellen als een puntmassa, is dat verband dan:
3/2 . k . T = 1/2 . m . v2
waarin k een constante is en v2 het gemiddelde van de kwadraten van de snelheid van de moleculen.
Sluit dit onderdeel voordat je verder gaat met de samenvatting.
Samengevat
Als je al druk temperatuur en volume volgens de oude natuurkundige beschrijving in één formule samenvat krijg je de bekende algemene gaswet:
p = c . T
waarin de constante bepaald wordt door de aard van de moleculen en hun aantal. Je begrijpt nu dat dat een sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid is.
Simulaties met een numeriek model zijn, dankzij krachtige computers, heel goed in staat om deze gaswet wat realistischer te maken. Je houdt dan rekening met het 'excluded volume" en het gedrag van de deeltjes ten opzichte van elkaar (aantrekking of afstoting). Deze simulaties hebben in de "Computational Science" al tot heel wat verrassende ontdekkingen geleid! Zoals de onverwachte kristallisatie van stoffen die elkaar helemaal niet aantrekken; de 'harde bollen". Bovendien is het op een computer wat makkelijker en in ieder veel minder gevaarlijk om te rekenen met extreem hoge drukken en temperaturen.