Opgave
De Erasmusbrug in Rotterdam is in 1996 in gebruik genomen. Deze brug bestaat uit twee gedeelten: een tuibrug en een basculebrug. Zie figuur 1.
De tuibrug
Bij de tuibrug wordt het wegdek links van de staander omhoog gehouden door 16 paren dikke kabels (tuien). Elk paar tuien houdt een evengroot deel van het wegdek omhoog. De zwaartekracht op zo'n stuk wegdek bedraagt 2,75.105 N.
a) Bereken de totale massa van het wegdek links van de staander.
In figuur 2 is een schematische tekening gemaakt van een deel van de tuibrug. In deze figuur zijn de tuien A en B aangegeven; de andere tuien zijn niet getekend. De zwaartekracht op het stuk wegdek dat door één tui omhoog wordt gehouden, is ook aangegeven.
b) Construeer in de figuur op de bijlage de spankrachten in tui A en in tui B en bepaal welke van de twee spankrachten het grootst is.
Kort nadat de brug in gebruik was genomen, bleek dat sommige tuien onder bepaalde weersomstandigheden in resonantie kwamen. Tui B trilde in de grondtoestand met een frequentie van 0,60 Hz.
Deze tui heeft een lengte van 344 meter.
c) Bereken de voortplantingssnelheid van de golven in tui B.
De basculebrug
De basculebrug kan geopend worden.
In figuur 3 is schematisch de stand van de basculebrug in de gesloten en in de geopende situatie weergegeven. Al het overige is in de tekening weggelaten.
Bij het openen draait de brug om punt Q. Over het gedeelte links van Q rijden geen auto's. Het dient als contragewicht bij het openen van de brug. Het gedeelte rechts van Q noemen we het wegdek.
In figuur 3 geeft Z1 het zwaartepunt aan van het wegdek en Z2 het zwaartepunt van het contragewicht. In de geopende stand bevindt Z1 zich 28 m hoger en bevindt Z2 zich 11 m lager dan in de gesloten stand. De massa van het wegdek is 1560 ton en de massa van het contragewicht 1050 ton (1 ton = 1000 kg).
Een grote elektromotor kan de brug in 120 seconden van helemaal dicht naar helemaal open draaien. Wrijving mag hierbij worden verwaarloosd. De arbeid die de elektromotor moet verrichten om de brug te openen, is gelijk aan de verandering van de zwaarte-energie van het wegdek en van het contragewicht.
d) Bereken op basis van deze informatie het gemiddelde vermogen dat de elektromotor moet leveren om de brug van de gesloten in de geopende stand te krijgen.
Uitwerking vraag (a)
Uitkomst: m = 4,49.105 kg.
• De totale zwaartekracht op het wegdek van de tuibrug is 16 * 2,75.105 = 4,40.106 N.
• Fz = m * g, waarin g = 9,81 m/s2 .
• Dus m = Fz /g = 4,40.106 /9,81 = 4,49.105 kg.
Uitwerking vraag (b)
• De spankracht in tui B is groter dan die in tui A.
Uitwerking vraag (c)
Uitkomst: v = 4,1.102 m/s.
• Bij de grondfrequentie is de golflengte van de golven in de tui: λ = 2 l (of l = 2λ).
• Voor de voortplantingssnelheid geldt: v = f * λ, waarin f = 0,60 Hz en λ = 688 m.
• Dus v = 0,60 * 688 = 4,1.102 m/s.
Uitwerking vraag (d)
Uitkomst: Pgem = 2,6.106 W.
• Bij het opendraaien van de brug neemt de zwaarte-energie van het wegdek toe met m1 * g * h1, terwijl de zwaarte-energie van het contragewicht afneemt met m2 * g * h2.
• ΔEz = 1560.103 * 9,81 * 28 - 1050.103 * 9,81 * 11 = 3,15.108 J.
• Pgem = ΔEz / Δt , waarin Δt = 120 s.
• Hieruit volgt dat Pgem = 3,15.103 / 120 = 2,6.106 W.
