Icon up Overzicht

Chaotische slingers

Onderwerp: Kracht en beweging

Begrippen: Bewegingsenergie

Chaos komt in het dagelijks leven overal voor. Een bekend voorbeeld daarvan is het weer, waarbij een vlinder in China een orkaan in New York kan veroorzaken. Een ander voorbeeld is het opgooien van een munt. Wanneer het muntje met dezelfde kracht en in dezelfde richting opgegooid wordt, dan nog zal de munt niet elke worp op dezelfde kant terecht komen. Bij dezelfde begincondities is het resultaat onvoorspelbaar. Dit effect wordt chaotisch gedrag genoemd. Een systeem om dit effect te onderzoeken, is de dubbele slinger.

 

Wat is chaos?

Een systeem is chaotisch als het een grote gevoeligheid heeft op kleine veranderingen in de begincondities. Stel dat er twee dubbele slingers naast elkaar opgehangen worden. Beide slingers worden onder een bepaalde hoek omhoog gehouden. Bij slinger 1 is die hoek echter 0,0001° groter dan bij slinger 2. De slingers worden dan losgelaten en omdat het verschil in de beginhoek erg klein is, zullen de slingers enkele seconden op dezelfde manier bewegen. Daarna zal het gedrag gaan verschillen en lijken de banen van beide slingers absoluut niet meer op elkaar. Het kleine verschil in de begincondities heeft als gevolg dat het gedrag na een tijdje onvoorspelbaar wordt. Als het experiment weer herhaald zou worden, dan zullen beide slingers na verloop van tijd zelfs andere banen volgen dan tijdens het eerste experiment, omdat de begincondities niet met oneindige nauwkeurigheid ingesteld kunnen worden. Dit is het kenmerk van chaotisch gedrag. In figuur 2 worden vier slingers gesimuleerd, waarbij het chaotische gedrag duidelijk zichtbaar is.

Wil je meer weten over chaos? Lees dan dit artikel op Kennislink.nl.

Filmpje? Wil je niet alleen de animatie bekijken maar ook eens zoiets in het echt zien? Bekijk dan deze filmopname van de dubbele slinger

Het verschil tussen de enkele slinger en de dubbele slinger

Bij een dubbele slinger treedt er wel chaos en bij een enkele slinger niet. Dit komt doordat de enkele slinger in zijn beweging geen punt heeft waar de baan drastisch kan veranderen. Bij een dubbele slinger is dat wel het geval. In figuur 1 is dat afgebeeld. De onderste slinger staat in de figuur rechtop. Een klein zetje naar links en hij zal linksom vallen, een klein zetje naar rechts en hij zal rechtsom vallen. Op dat punt kan de baan dus drastisch veranderen, omdat niet te voorspellen is welke kant de slinger op zal vallen. Het bestaan van dit soort punten is een voorwaarde voor het onstaan van chaos. Overigens is de enkele slinger ook chaotisch te krijgen door hem aan te drijven met een motor. Het is dan mogelijk om de slinger zover te krijgen dat hij recht omhoog staat. Ook dan is het onvoorspelbaar of de slinger linksom of rechtsom zal vallen.

Fasediagrammen

Op het oog is het moeilijk te zien of de dubbele slinger chaotisch beweegt. Het zou namelijk kunnen dat een slingerbeweging er chaotisch uitziet, maar in werkelijkheid een ingewikkelde maar periodieke baan volgt. Twee methodes om dat te onderzoeken maken gebruik van fasediagrammen. Eerst zal uitgelegd worden wat een fasediagram precies is voordat de chaotische slinger verder onderzocht zal worden. Fasediagrammen worden gebruikt om de beweging van een object te beschrijven. Het zijn een plots waarbij de coördinaten en snelheden tegen elkaar uitgezet worden. De tijd-as die je gewend bent van plaats-tijd en snelheid-tijd grafieken speelt hier geen rol. Een voorbeeld van een plot van de x-coördinaat tegen de y-coördinaat is een bandenspoor van een auto zoals is te zien in figuur 3.

Figuur 3: Het bandenspoor van een auto is een voorbeeld van een fasediagram waarbij de y-coördinaat tegen de x-coördinaat is uitgezet. Het is een fasediagram die de beweging van een auto beschrijft.

Het fasediagram van figuur 3 is opgebouwd uit alle plaatsen die de autoband bezocht heeft. Dat is precies hoe een fasediagram getekend wordt. In de figuur zijn twee 'meet'-punten getekend om duidelijk te maken hoe een fasediagram wordt getekend. Op het tijdstip t1 is de auto op positie 1. In het diagram worden dan de x en y-coördinaat vastgelegd. Vervolgens wordt op tijdstip t2 gemeten wat de x en y-coördinaat van de auto zijn. Dat wordt voor alle tijdstippen gedaan. De plot die daar het resultaat van is, is het bandenspoor. Het geeft precies aan welke beweging de auto gemaakt heeft.

Figuur 4: Een snelheid-plaats fasediagram. De snelheid van de auto is tegen de plaats uitgezet. Het is gelijk zichtbaar waar de file begint en waar hij eindigt.

Bij fasediagrammen kan ook een coördinaat tegen een snelheid uitgezet worden. Stel een auto rijdt op een rechte weg door een drukke stad. De auto probeert een constante snelheid te rijden, maar komt op een bepaalde plaats een file tegen. Een fasediagram waarbij de snelheid tegen de plaats van de auto is uitgezet, laat dan precies zien op welke plek de file begint en waar de file eindigt, zoals is te zien in figuur 4.

Nu fasediagrammen bekend zijn, kan de chaotische slinger ermee onderzocht worden. In het geval van de slinger zal geen gebruik gemaakt worden van de x en y-coördinaat, maar van de hoeken θ1 en θ2. In figuur 5 is te zien hoe het fasediagram eruit ziet. Elke 0,1 seconde wordt zowel de hoek θ1 als de hoek θ2 gemeten. In de grafiek staat op de verticale as de hoek θ1 en op de horizontale as de hoek θ2. Bij de gemeten hoeken kan net als bij het bandenspoor een punt in het diagram geplaatst worden. Dit wordt gedurende tien seconden gedaan zodat er in het diagram een aantal punten komen te staan. Voor de duidelijkheid zijn ze verbonden met een lijn.

Figuur 5: Geanimeerde faseplot, waarbij θ1 tegen θ2 is uitgezet van een gesimuleerde dubbele slinger. De rode en blauwe lijn stellen ieder een dubbele slinger voor. Tussen de blauwe en rode slinger zit een verschil in de beginhoek van 0,0001 °. Er is duidelijk te zien dat de slingers gedurende de eerste zes seconden hetzelfde pad volgen.

De eerste methode om via fasediagrammen chaos te onderzoeken is het vergelijken van twee metingen aan de dubbele slinger. In figuur 5 zijn de fasediagrammen van twee metingen aan de dubbele slinger weergegeven. De rode slinger is bij een iets andere beginhoek gestart dan de blauwe slinger. Het verschil in beginhoeken is slechts 0,0001°, maar toch is al duidelijk te zien dat na ongeveer zes seconden de slingers andere banen volgen. Dit is chaotisch gedrag. Er is namelijk een grote gevoeligheid op begincondities, waardoor het gedrag na verloop van tijd onvoorspelbaar wordt.

Figuur 6: 3D faseplot, waarbij θ1 en θ2 tegen ω2 zijn uitgezet. Er is te zien dat de slinger telkens hetzelfde pad aflegt. Oftewel de slinger is periodiek.

De tweede methode om via fasediagrammen chaos te onderzoeken is om gedurende een langere tijd te meten en te kijken of de dubbele slinger hetzelfde pad in de faseruimte blijft volgen. Wanneer een systeem hetzelfde pad blijft volgen, dan is het systeem niet chaotisch. Immers is telkens te voorspellen waar de slinger zich over zoveel seconden zal bevinden door in het fasediagram de lijn te volgen. Bij de dubbele slinger is dit het geval wanneer er een kleine beginhoek gekozen wordt, zodat de slinger niet over de kop kan gaan. In figuur 6 is een fasediagram te zien waarbij de hoeken θ1 en θ2 tegen de hoeksnelheid ω2 zijn uitgezet. Hoewel het een erg ingewikkeld figuur is, is nog wel te zien dat de slinger een vast pad heeft wat elke keer doorlopen wordt. Anders gezegd, wanneer er een bepaald punt op het pad gekozen wordt, dan zal de slinger na een bepaalde periode weer op dat punt uitkomen om daarna weer precies hetzelfde pad doorlopen als de eerste keer.

Lyapunov coëfficiënten

Om de mate van choas aan te geven, kan de Lyapunov coëfficiënt λ gebruikt worden. Deze parameter geeft aan hoe snel paden in de faseruimte uit elkaar lopen als functie van de tijd. Om te kunnen zeggen hoe ver een pad van een ander pad ligt, is het nodig om naar de afstand tussen twee paden in de faseruimte te kijken. Van de stelling van Pythagoras is al bekend dat de afstand tussen twee punten in een vlak (Δs) te berekenen is uit de afstand in de x-richting (Δx = x2 - x1) en de afstand in de y-richting (Δy = y2 - y1)

 

In een 3D ruimte wordt de afstand tussen twee punten volgens Pythagoras gegeven door

 

Het is dan niet verbazingwekkend dat de afstand tussen twee punten in de 4D faseruimte (Δ) gegeven wordt door

 

Nu er een maat voor de afstand tussen twee punten in de faseruimte is, kan onderzocht worden hoe de afstand tussen twee paden zich ontwikkelt gedurende een bepaalde tijd. Het blijkt dat als twee dubbele slingers met ongeveer dezelfde beginvoorwaarden starten, dat dan het verschil tussen de hun paden in de faseruimte (Δ) exponentieel toeneemt. Hoe sterk die exponentiële groei is, wordt gegeven door de volgende formule

 

Δ(0) is het verschil tussen de paden van de twee slinger op t = 0s en Δ(t) is het verschil tussen de twee paden als functie van de tijd. De parameter λ is de eerder genoemde Lyapunov coëfficiënt. Hoe groter λ, hoe sneller de twee paden zich van elkaar af zullen bewegen. Overigens geldt deze e-macht alleen maar gedurende een korte tijd na het starten van beide slingers.

Aan de hand van de Lyapunov coëfficiënt is de mate van chaos af te lezen. Wanneer de Lyapunov coëfficiënt negatief is, dan is er geen chaos. Als de Lyapunov coëfficiënt positief is, dan is het systeem chaotisch. Dit is goed te zien in figuur 7. Overigens is figuur 7 niet gebaseerd op echte metingen. Het is puur om te laten zien wat voor effect een Lyapunov coëfficiënt heeft.

Figuur 7: Verschillende plots voor verschillende waarden voor λ. Voor positieve waarden wordt het verschil Δ steeds groter. Negatieve waarden zorgen juist voor een verschil wat steeds kleiner wordt, oftwel de paden worden na verloop van tijd gelijk.

Om in de praktijk de Lyapunov coëfficiënt te meten, moeten er erg veel metingen gedaan worden. Per meting is de coëfficiënt namelijk verschillend. De Lyapunov coëfficiënt van het hele systeem is het gemiddelde van alle gemeten Lyapunov coëfficiënten.

De Lyapunov coëfficiënt geeft aan hoe lang een chaotisch systeem nog voorspelbaar blijft binnen een bepaalde marge. Het wordt gebruikt om de mate van chaos aan te geven van een systeem. Dit geldt niet alleen voor de dubbele slinger. Van elk systeem zijn de Lyapunov coëfficiënten te bepalen.