Icon up Overzicht

GPS: weet waar je bent.

Onderwerp: Rechtlijnige beweging, Werking van apparaten

Vorig jaar strandde een aantal Nederlanders op weg naar vakantieoorden. Radeloos belden ze naar de ANWB met de vraag: “Waar ben ik?”. Blindelings vertrouwend op hun navigatiesysteem waren ze op weg gegaan en toen deze faalde wisten ze zich geen raad. Het feit dat deze mensen niet op het idee kwamen om een kaart te kopen, bewijst hoe snel men gewend is geraakt aan de GPS. Het gemak van de GPS: daar kan geen kaart of kompas tegen op.

GPS staat voor Global Positioning System. Een GPS doet maar één ding: antwoord geven op de vraag “Waar ben ik?”. Navigatiesystemen voegen daar een stukje software aan toe die met behulp van een digitale kaart de weg kunnen wijzen naar plekken waarvan de locatie al bekend is. De S in GPS staat voor ‘system’, want om de plaats te bepalen wordt gebruikt gemaakt van een systeem van satellieten, gebouwen waarvan de locatie al bekend is en een ontvanger. De ontvanger is het apparaatje dat jij meeneemt en wordt verwarrend genoeg meestal ‘GPS’ genoemd.

Satellieten draaien om de aarde in een redelijk vaste baan. Dit komt door de zwaartekracht van de aarde die een zogenaamde centripetale (= middelpuntzoekende) kracht veroorzaakt. Een kracht die de satelliet naar het midden van de aarde trekt. Deze kracht krijgt het niet voor elkaar om de satelliet neer te laten storten omdat de satelliet een constante snelheid heeft loodrecht op de centripetale kracht. Toch zal de kracht een versnelling veroorzaken, zoals Newtons tweede wet dat voorspelt. Versnelling is alleen niets anders dan een verandering in snelheid, waar snelheid een grootheid met een grootte en een richting is. De kracht veroorzaakt een verandering in de richting van de snelheid, terwijl deze wel even groot blijft omdat de kracht loodrecht op de snelheid staat. Zo wordt de richting van de snelheid steeds een beetje aangepast, waardoor de satelliet een baan om de aarde trekt.

Figuur 1 - In het rood de snelheid van de satelliet, in het blauw de kracht van de aarde op de satelliet. De zwarte baan is de beweging die de satelliet maakt.

De grootte van de snelheid bepaalt de hoogte van de satelliet, de richting bepaalt de uiteindelijke baan; of de satelliet bijvoorbeeld over de polen gaat of over de evenaar. Zo kan bij lancering dus bepaald worden welke baan de satelliet zal gaan volgen. Op het moment zijn er 31 satellieten voor het GP systeem de lucht in gestuurd. Ze volgen allemaal een andere baan om de aarde op een hoogte van ongeveer 20.200 km. Op die manier zijn er altijd een aantal satellieten zichtbaar vanaf een punt op aarde. Deze site geeft weer waar (GPS) satellieten zich op dit moment bevinden.

 

De satellieten van het GPS systeem zenden elektromagnetische golven uit. In dit signaal zitten twee belangrijke gegevens: van welke satelliet het afkomstig is en wanneer het is uitgezonden. Beide gegevens kunnen gebruikt worden om te bepalen hoe ver de ontvanger van de satelliet af staat.

De GPS ontvanger weet van alle satellieten waar ze zich bevinden. In de GPS ontvanger zit een klokje. Het verschil tussen het tijdstip van verzenden (verteld in signaal van de satelliet) en het tijdstip van ontvangen is de tijd, t, die het signaal over de reis van satelliet naar ontvanger heeft gedaan. Als de snelheid, v, van de verplaatsing van het signaal bekend en constant is, is de afstand x tussen ontvanger en satelliet als volgt te bepalen:

x = v . t

Nu de afstand tussen ontvanger en satelliet bekend is, weten we nog niet waar de ontvanger zich bevindt. We weten wel dat de ontvanger zich ergens moet bevinden op de oppervlakte van een bol rondom de satelliet met straal x. De afstand van een punt op de oppervlakte van deze bol tot de satelliet in het middelpunt is namelijk altijd x.

Figuur 2 De satalliet bevindt zich in het midden van een bol met straal x

Als de ontvanger nog een signaal ontvangt van een andere satelliet is de afstand x tussen beide op dezelfde manier te berekenen. Om deze satelliet heen kan een zelfde soort bol getekend worden met straal x2.

Figuur 3 Twee manieren om te tonen hoe de twee bolschillen elkaar over een ring snijden.

Aangezien de ontvanger tegelijkertijd zich op een afstand x van satelliet 1 en op een afstand x2 van satelliet twee bevindt, zullen de bollen overlappen. De ontvanger moet zich nu wel bevinden op de ring waar de oppervlakten van beide bollen elkaar snijden. Door verbinding te maken met een derde satelliet blijven er nog maar twee mogelijke locaties over.

Figuur 4 Er zijn slechts twee punten waar alle drie de bol oppervlakten elkaar tegenkomen.

Over het algemeen is de ontvanger in de buurt van de aarde. Een van de punten ligt dus dicht bij de aarde, terwijl de andere zich ergens in de ruimte bevindt. Slimme GPS ontvangers gooien het punt in de ruimte weg waardoor drie satellieten genoeg zijn om de locatie te bepalen. Een andere mogelijkheid is om verbinding te maken met een vierde satelliet. Hierdoor is nog maar 1 snijpunt overgebleven.

Bekijk deze flashanimatie op Thinkquest, die nog eens goed duidelijk maakt hoe het precies werkt (Engelstalig).

Theoretisch gezien kan op deze manier altijd exact bepaald worden waar de ontvanger zich bevindt. In de praktijk doen er zich een aantal problemen voor.

Elektromagnetische golven planten zich voort met de snelheid van licht. Dit is een ontzaglijke grote snelheid van ongeveer 300.000.000 m/s, oftewel 300 duizend kilometer per seconde. Bedenk dat met deze snelheid je in 4 seconden 30 keer over de evenaar rond de aarde kan gaan (!). Deze snelheid is zo groot dat het signaal binnen één tiende van een seconde van satelliet naar aarde reist. De tijd die de golf er over doet om enkele meters af te leggen is dus ontzettend klein. Dit hoeft niet erg te zijn als je dan ook maar heel precies weet hoeveel tijd het signaal er over gedaan heeft. Daarvoor heb je in de satelliet en de ontvanger klokjes nodig die heel nauwkeurig kunnen meten. Alleen atoomklokjes zijn hiertoe in staat. Deze klokjes kosten minstens veertigduizend euro en dat is ‘iets’ te veel voor de meeste TomTom gebruikers.

Vraag

Bereken zelf eens hoeveel tijd een elektromagnetische golf extra nodig heeft om een vijf meter langere weg af te leggen.

Gelukkig is het zo dat de eerder genoemde 4 boloppervlakten alleen exact samenkomen in 1 plek als de afstanden exact gemeten zijn. Een GPS ontvanger met een normaal onnauwkeurig klokje meet alle tijden proportioneel verkeerd. Door een beetje te schuiven aan de tijd van de ontvanger kan zo een tijdstip bepaald worden waarbij de afstanden exact samenkomen in een punt. Dat moet dan wel de tijd zijn die gelijk is aan de tijden van de satellieten, die uitgerust zijn met dure atoomklokken. Het goedkope klokje van de ontvanger wordt gelijk gezet met dit tijdstip waardoor het weer gelijk staat met de atoomklokken. De ontvanger doet dit voortdurend, waardoor het klokje van de GPS eigenlijk net zo nauwkeurig is als een atoomklok.

Uiteraard is het weten van de afstand nutteloos als het onbekend is waar de satelliet zich bevindt. Aangezien de satelliet in een simpele baan rond de aarde beweegt, worden deze gegevens gewoon opgeslagen in het geheugen van de GPS ontvanger. De baan van de satelliet om de aarde wordt alleen wel eens beïnvloed door bijvoorbeeld de kracht van de zon of de maan. Vandaar dat er gemeten moet worden waar de satellieten zich exact bevinden om de nauwkeurigheid van het systeem niet teniet te doen. Vanaf de aarde wordt bijgehouden waar satellieten zijn en deze informatie wordt vervolgens weer uitgezonden naar de normale GPS ontvangers.

Het grootste probleem zit hem in de snelheid waarmee het signaal zich in de ruimte voortbeweegt. De snelheid wordt namelijk beïnvloed door de samenstelling van de atmosfeer en kleine veranderingen treden voortdurend op. Nagaan wat de precieze snelheid van het signaal geweest is, is niet mogelijk.

Een van de oplossingen van dit systeem is DGPS (Differential GPS). Over de wereld verspreid staan GPS ontvangers opgesteld die precies weten waar ze zijn. Die kunnen hun exacte locatie vergelijken met de gemeten locatie om zo de fout in de meting te bepalen. Ontvangers in de buurt van deze locatie pikken een signaal op met een ongeveer gelijkzijnde afgelegde weg en dus een ongeveer overeenkomende fout. De informatie over de fout kan door de ontvangers gebruikt worden om hun nauwkeurigheid te verbeteren.

Voor consumenten is de GPS tot op zo’n 5 a 10 meter nauwkeurig. Gebruik maken van het systeem is gratis (op de aanschaf van een ontvanger na). Het systeem in alleen wel in handen van de Amerikaanse Defensie: zij kunnen ieder moment de stekker er uit trekken, of de gegevens beveiligen. De ESA (European Space Agency) is op het moment bezig met het project Galileo. Galileo is het satellietnavigatie systeem van Europa dat volgens de oprichters niet bedoeld is voor militaire doeleinden. In 2013 zou iedereen hiermee in staat moeten zijn om positie te bepalen op een millimeter nauwkeurig.

Galileo in NOS-journaal van 28 december 2005. (c) NOS-journaal