Icon up Overzicht

Welke deeltjes stapelen het beste ?

Onderwerp: gas en vloeistof, thermische processen, modelleren

Een sinaasappelverkoper wil zoveel mogelijk sinaasappels kunnen meenemen in zijn bestelbusje als hij naar de markt gaat. Hij zal proberen zijn dozen zo handig mogelijk te vullen. Nu is een sinaasappel rond, maar ook niet-ronde voorwerpen (bijvoorbeeld ongekookte spaghetti, aardappels, komkommers) willen we vaak handig stapelen. De vorm van het voorwerp heeft ook invloed op de vorm van de stapel. Andere vormen stapelen anders dan bollen. Vergelijk bijvoorbeeld eens de verschillende stapelingen in figuur 1. Dat handig stapelen geld oplevert, blijkt wel uit de recent gekweekte kubische meloenen. Die stapelen natuurlijk perfect.

Dit artikel is een onderdeel van een omvangrijk pakket "natuurkundig modelleren". Voor het totale overzicht van dit materiaal kunt u de overzichtspagina "natuurkundig modelleren" bekijken.

Figuur 1.Verschillende soorten stapelingen.

Eén voor één stapelen, het fcc-kristal.

De meest efficiënte aanpak is bollen stapelen op een regelmatige manier. Dit is heel veel werk, maar het is wel de beste manier om de ruimte te vullen. Wanneer we dit goed doen, krijgen we een plaatje zoals in figuur 2.

Figuur 2. fcc kristal

De bollen zijn hier zo gestapeld dat 74% van de ruimte uit bollen bestaat (de andere 26% bestaat uit lucht). In 1611 voorspelde de Duitse sterrenkundige Johannes Kepler dat dit de meest efficiënte stapeling van bollen is, maar bewijzen kon hij het niet. Dit gebeurde pas in 1998 door Thomas Hales. Daarbij moet worden opgemerkt dat zijn bewijs niet onomstreden is.

De manier van stapelen in figuur 2 heet de 'face centred cubic stapeling' (fcc). In veel vaste stoffen zijn de atomen bij lage temperatuur zo gestapeld. Met een eenvoudig sommetje kunnen we zelf uitrekenen dat de fractie van de ruimte die gevuld is gelijk is aan:

π √2 ∕ 6 ≈ 0,74

De stapeling is heel efficiënt. Toch zal de sinaasappelverkoper zijn sinaasappelen nooit zo in zijn busje stapelen. Dat kost veel te veel tijd. In plaats daarvan gebruikt hij waarschijnlijk de tweede manier van stapelen: de zogenaamde 'willekeurig dichtste stapeling'.

Random close pakking

Dit klinkt heel deftig, maar wat betekent het in de praktijk? Sinaasappelen worden willekeurig in een bak gemikt en vervolgens goed geschud om de beschikbare ruimte zo goed mogelijk op te vullen. Het vreemde is dat voor deze manier van stapelen de maximale fractie gevulde ruimte altijd 0,64 +/- 0,01 is. Waarom de maximale waarde 0,64 is, weten we nog steeds niet.

Het feit dat de willekeurig dichtste stapeling altijd dezelfde pakkingsfractie heeft, staat zelfs in de bijbel. Zo schrijft Lucas 6:38:

“Geeft, en u zal gegeven worden; een goede, neergedrukte, en geschudde en overlopende maat zal men in uw schoot geven; want met dezelfde maat, waarmede gijlieden meet, zal u lieden wedergemeten worden.”

Wanneer een emmer gebruikt wordt om een hoeveelheid rijst te scheppen, zal een goed geschudde emmer altijd evenveel rijst bevatten. Wordt er niet geschud, dan zal de pakkingsfractie lager zijn. Blijkbaar waren er meer dan 2000 jaar geleden slinkse handelaren die lucht wilden verkopen voor rijst.

Een model voor de vorm: spherocilinders en α

Er blijft een vraag over die de apostel Lucas niet beantwoord heeft. In hoeverre speelt de vorm van de deeltjes een rol bij de willekeurig dichtste stapeling? Zeer recentelijk hebben Stephen Williams en Albert Philipse van de Universiteit Utrecht laten zien dat afgeplatte deeltjes beter de ruimte vullen dan bolvormige deeltjes. Hiervoor hebben zij computersimulaties uitgevoerd aan een speciaal type deeltjes, zogenaamde spherocilinders, die elkaar niet kunnen overlappen. Deze spherocilinders hebben een lengte L en diameter D. De uiteinden van de cilinders zijn rond met een straal R = D / 2 . De belangrijkste parameter van deze deeltjes is het verhoudingsgetal α die gelijk is aan α = L / D. Zie figuur 3.

Figuur 3. Schematische representatie van een spherocilinder. De belangrijkste parameter is α waarbij α = L / D. Voor α = 0 is een spherocilinder gelijk aan een bol en voor α = ∞ lijkt het op ongekookte spaghetti. Van links naar rechts: α = 0; α = 0,4; α = 2; α = 40

Dit model van de vorm is geschikt, omdat de willekeurig dichtste stapeling niet afhangt van de grootte van de deeltjes. Alleen de vorm (lees hier: α) is belangrijk. Voor onderzoek naar willekeurig dichtste pakkingen voor een groot bereik van α hebben Williams en Philipse een numeriek model geschreven.

Numeriek modelleren

In de computersimulaties wordt een systeem van spherocilinders met een bepaalde α heel langzaam gecomprimeerd, zie figuur 4 voor de compressie van een systeem met α = 0. Tijdens het comprimeren hebben de deeltjes een beperkte mogelijkheid om te verplaatsen. Deze verplaatsing kunnen we vergelijken met het schudden van de afgestreken maat waar de apostel Lucas over schrijft. Wanneer het systeem heel erg dicht gepakt is, kunnen we niet verder comprimeren. (Anders gaan de spherocilinders overlappen.) Op dat moment kunnen we de fractie lege ruimte uitrekenen.

Figuur 4. Animatie van het comprimeren van een systeem van bollen (α = 0). Het systeem is omgeven door kopieën van zichzelf, dit zijn periodieke randvoorwaarden. Dit wordt gedaan om te voorkomen dat er een wand in het systeem wordt geplaatst.

Williams en Philipse hebben deze berekening uitgevoerd voor verschillende waardes van α, zie figuur 5. Hierin staat de fractie van de ruimte die gevuld is als functie van α. Het geheel onverwachte resultaat van de berekeningen was dat niet perfect ronde bollen, maar juist iets afgeplatte bollen het beste stapelen !!

Voor grote waardes van α neemt de pakkingsfractie snel af. Dit lijkt logisch, omdat tussen willekeurig gestapelde knikkers relatief minder ruimte is dan tussen een hoop willekeurig neergelegde cocktailprikkers.

Figuur 5: Pakkingsfractie als functie van de aspect ratio van spherocilinders. Afgeplatte deeltjes (α = 0,4) stapelen beter dan bollen (α = 0). Het blijkt dat de pakkingsfractie naar nul toe gaat voor α = ∞.

Uit figuur 5 blijkt tevens dat voor hoge waarden van α de pakkingsfractie van een random close pakking naar nul toe gaat. Dit is het geval voor hele lange coctailprikkers, nog langer dan de prikkers die in figuur 5 getoond worden. Deze hele lange voorwerpen kunnen we veel efficiënter op een regelmatige manier stapelen. Denk maar eens aan een pak spaghetti.

Conclusie

Dit resultaat van de computerberekeningen is mogelijk van groot praktisch belang. Bijvoorbeeld voor de maximalisatie van de pakkingsfractie in poeders van keramische deeltjes of in andere vulmaterialen. Zo zorgen we dat we bollen dichter stapelen dan de willekeurig dichtste pakking. We kunnen in plaats van een fcc kristal te maken de deeltjes ook proberen af te platten. Het is belangrijk om te realiseren dat de data uit figuur 5 tot nu toe alleen met behulp van een computermodel kan worden gegenereerd. Experimenteel is het namelijk heel erg moeilijk om deeltjes van de gewenste vorm (α) te maken. Bovendien is er geen theorie die het maximum voor α=0,4 correct kan voorspellen.

In 1611 voorspelde de Duitse sterrenkundige Johannes Kepler een artikel over de meest efficiënte stapeling van bollen. Het bewijs werd pas in 1998 door Thomas Hales geleverd met behulp van een computer....Lees meer in Het Kepler probleem, 400 jaar na dato alsnog bewezen?

Voor experimentalisten zullen de resultaten van de computersimulaties een extra uitdaging zijn om deeltjes van verschillende vorm te kunnen maken.

Met dank aan

Met dank aan Albert Philipse voor zijn waardevolle opmerkingen en het aanleveren van een groot aantal figuren. Figuur 4 is afkomstig van Albert Philipse en Stephen Williams. Een aantal andere figuren zijn gemaakt door Jan den Boesterd.