De stralingscurve van Planck is om een hele specifieke reden erg belangrijk voor de natuurkunde: met deze wet legde Planck de basis voor de ontwikkeling van de quantummechanica.
Analyse van de straling van een ster op basis van de wet van Planck geeft veel informatie over de samenstelling van de ster. Maar met deze wet kun je ook begrijpen hoe het zit met het licht dat een gloeilamp uitzendt. En dit laatste was één van de aanleidingen van het werk van Max Planck. Hij wilde begrijpen hoe je lichtbronnen efficiënter kon maken. Daarvoor moest hij begrijpen hoeveel energie door de lamp werd uitgezonden. De curve die bij de straling van een lichtbron hoort zie je in figuur 1.
Kwalitatief kun je begrijpen wat er gebeurt in deze figuur. Als een voorwerp heter wordt (een hogere temperatuur heeft) zendt het steeds meer straling uit en wordt de intensiteit hoger. Dat zie je bijvoorbeeld als je de groene curve (4000 K) vergelijkt met de blauwe (5000 K). Maar er gebeurt meer. Een stuk metaal wordt eerst roodgloeiend en later witheet, oftewel met de temperatuur veranderen ook de golflengtes van het uitgezonden licht. Dat zie je ook in figuur 1 waar de piek van het hetere voorwerp (blauwe grafiek) bij een kortere golflengte ligt dan die van het minder hete voorwerp (groene grafiek). Een belangrijke eigenschap van de curve is dat zowel bij kleine als bij grote golflengtes de intensiteit laag is, oftewel dat de piek zich tussen de uitersten van lange en korte golflengtes bevindt. Laten we eens kijken hoe dat zit.
Zwarte straler
Dan moet je eerst weten wat een zwarte straler is. Dat is een theoretisch concept. Het is namelijk een voorwerp dat alle elektromagnetische straling die erop valt absorbeert en dus niets reflecteert. Dat komt in het echt niet voor, maar soms wel bij benadering. Doordat het voorwerp alle erop vallende straling absorbeert, stijgt zijn temperatuur en zal het voorwerp zelf (warmte)straling gaan uitzenden. Een zeer goede benadering van een zwarte straler is een gat in een hol voorwerp met wanden waar de straling niet doorheen kan. In figuur 2 zie een voorbeeld met een bol, maar het zou ook een vierkante doos kunnen zijn. Alle straling die in het gat verdwijnt wordt geabsorbeerd. Hierdoor warmt de binnenkant op, waardoor er warmtestraling uit het gat komt.
Basis van de formule
De stralingswet van Planck is een formule die aangeeft hoeveel stralingsenergie een voorwerp uitzendt, afhankelijk van de temperatuur en de golflengte. Als je die formule in een grafiek zet krijg je de curves zoals in figuur 1. Om deze formule te begrijpen gebruiken we het concept van de zwarte straler, zoals in figuur 2.
De wand zal straling uitzenden als deze opwarmt. Dat komt omdat de elektronen in de wand steeds harder gaan trillen (dat is immers een hogere temperatuur) en bewegende elektronen zenden straling uit. Dat zit zo: een stilstaande lading heeft een stationair elektrisch veld om zich heen, maar als de lading beweegt zal dat veld verstoord worden en die verstoring plant zich voort, en dat is wat we straling noemen. Denk aan een steen die in het spiegelgladde oppervlak van een vijver valt. In de bol van figuur 2 ontstaan door interferentie van straling staande golven, net als een toon in een blaasinstrument, of de golven in een magnetron.
Om te weten hoeveel energie een zwarte straler uitzendt, heb je twee gegevens nodig. Allereerst hoeveel staande golven zich erin bevinden, dat wil zeggen op hoeveel manieren er (bij iedere waarde van de golflengte) staande golven in de bol kunnen ontstaan. Het tweede ingrediënt van de uitgezonden straling is de energie van ieder van de staande golven. Deze twee componenten zijn de basis van de wet van Planck.
De ultraviolet catastrofe
Voordat Max Planck zijn stralingswet opstelde, hadden de natuurkundigen Rayleigh en Jeans in 1900 al een stralingswet opgesteld gebaseerd op deze twee componenten. Als je terugkijkt naar figuur 1 zie je de curve (de zwarte) die bij hun stralingswet hoort. Deze curve bleek bij langere golflengtes (boven de 3000 nm) heel goed te kloppen met metingen, maar bij kortere ging het mis. De uitkomst van de berekening was te hoog, zelfs zo hoog dat de totale energie bij korte golflengtes oneindig groot werd. Dat kan natuurlijk niet, geen enkel voorwerp kan een oneindige hoeveelheid energie uitzenden. Dit noemde men met gevoel voor dramatiek de ultraviolet catastrofe. Dat komt omdat de berekening vooral bij korte golflengtes (ultraviolet licht) afwijkt van de meting. Max Planck nam zich voor dit probleem op te lossen en dat lukte hem in hetzelfde jaar, 1900.
De formule van Rayleigh en Jeans
Om te begrijpen hoe Planck de ultraviolet catastrofe oploste, moeten we eerst de formule van Rayleigh en Jeans begrijpen. Gebruikelijk is om dan te kijken naar frequentie $f$ van de straling, in plaats van naar de golflengte $\lambda $ . Zoals je weet hangen die twee samen via: $c=f\cdot\lambda $ , waarin $c$ de lichtsnelheid is. Rayleigh en Jeans berekenden de uitgestraalde energie afhankelijk van frequentie en temperatuur $E(f,T)$ .
$E(f,T)=\frac{8\pi f^2}{c^3}\cdot kT$ (1)
Deze formule bestaat uit twee delen. Het eerste deel $(\frac{8\pi f^2}{c^3})$ geeft aan hoeveel staande golven er bij een bepaalde stralingsfrequentie $(f)$ in de zwarte straler passen. Opmerking en technisch detail: het geeft het aantal weer per volume-eenheid, bijvoorbeeld per kubieke centimeter. Het tweede deel van de formule $(kT)$ is de (gemiddelde) energie die ieder van deze golven heeft. Het is een eenvoudig te begrijpen formule. Je weet hoeveel staande golven er zijn, dat vermenigvuldig je met de gemiddelde energie van iedere golf en dat geeft je de totaal uitgezonden energie.
De aanpassing van Max Planck
De formule van Planck heeft het eerste deel van de Rayleigh-Jeans formule, de berekening van het aantal golven, behouden. Maar Planck maakte een cruciale aanpassing aan de gemiddelde energie per golf.
Deze aanpassing kun je je voorstellen als een trap op een heuvel. Laten we zeggen een heuvel van 10 meter hoog met traptreden van 20 centimeter hoogte. Als je naast de trap op de heuvel staat, kun je op iedere gewenste hoogte staan, bijvoorbeeld op 3,5 of 6,8 meter. Maar je kunt ook op 7,20, 7,21 en 7,22 meter staan. Als je op de trap staat kun je wel op 6,8 meter hoogte staan, maar niet op 3,5 meter. Het is 3,4 óf 3,6 meter. Je kunt wel op 7,20 meter staan, maar niet op 7,21 of 7,22 meter, de eerstvolgende na 7,2 is 7,4. De hoogtes op de helling zijn continue (kunnen iedere waarde hebben) de hoogtes op de trap noemen we discreet (de waardes hebben een bepaalde stapgrootte). De verdeling van energie die Planck voorstelde was dus discreet en niet continu zoals in de Rayleigh-Jeans formule.
Behalve dit gaf Planck de energieverdeling een extra eigenschap. Hij maakte een erg vreemde trap, namelijk een waarbij de treehoogte groter wordt als je hoger komt. Je moet dus steeds groter stappen (in een keer!) nemen als je omhooggaat. Het gaat bij een energieverdeling natuurlijk niet over hoogte maar over frequentie. De formule voor de stapgrootte is er een die je vast al eens gezien hebt bij het onderwerp licht, of elektromagnetische straling:
$E(f)=h\cdot f$ (2)
Hoe groter de frequentie $f$ hoe groter de stapgrootte in energie $E(f)$ .
Deze twee aanpassingen hebben vooral gevolgen voor de uitgestraalde energie bij korte golflengtes, dat wil zeggen bij hogere frequenties. Hoe hoger de stapgrootte, hoe minder energiewaarden bijdragen aan de totaal uitgestraalde energie. Er zijn immers steeds meer tussenliggende golflengtes die ‘verboden’ zijn bij hogere frequenties. En dat betekent, dat hoewel bij hogere frequentie volgens formule 2 de energie hoger is, de bijdrage van die frequenties steeds kleiner wordt, omdat er steeds meer frequenties ‘verboden’ zijn.
Lagere frequenties dragen ook minder bij, maar daar is de reden dat de energie van de golven, ook weer volgens formule 2, laag is.
Deze aanpassing bleek de oplossing van het probleem. Hoge en lage frequenties dragen minder bij aan de totaal uitgestraalde energie dan de tussenliggende waarden. En dat geeft de curve zoals in figuur 1.
Planck leidde op deze manier de volgende formule af:
$E(f,T)=\frac{8\pi f^2}{c^3}\cdot\frac{hf}{(e^{\frac{hf}{kT}}-1)}$ (3)
Als je deze vergelijkt met formule 1, zie dat Planck niet het aantal mogelijke golven veranderde, maar alleen hoeveel energie die verschillende golven bijdragen aan het totaal. Hij veranderde $kT$ in $\frac{hf}{(e^{\frac{hf}{kT}}-1)}$ .
Betekenis van deze formule
Deze formule gaf een goede weergave van de experimenteel gevonden stralingscurves van verwarmde voorwerpen. Maar dat niet alleen. Planck zag zijn discrete verdeling met steeds grotere stapgrootte puur als een wiskundige oplossing. Eigenlijk een truc om de berekende curve overeen te laten stemmen met de waargenomen. Het was Einstein die zich realiseerde dat Plancks berekening een belangrijke natuurkunde realiteit onthulde, namelijk dat stralingsenergie een discrete grootheid is, oftewel dat stralingsenergie gekwantiseerd is. Hij noemde die discrete waardes van stralingsenergie quanta, dat was de geboorte van de quantummechanica. Planck en Einstein worden daarom weleens de vaders van de quantummechanica genoemd. Hoewel dat op zich juist is, hebben veel andere natuurkundigen deze theorie gevormd tot wat deze nu is.
Wiskundige details
Wil je de wiskundige details van de afleiding van de stralingsformule van Planck zien, dan kun je deze video (en de links ervan) bekijken.
Hierin is heel mooi te zien hoe de stralingswet van Rayleigh en Jeans van formule 1 uit de formule van Planck kan worden afgeleid voor de limiet van grote golflengtes.
