Verspreiding van virussen

Onderwerp: Gebruik van computer bij natuurkunde, Modelleren

Hoe modelleer en bereken je dat?

Als er iets is dat veel aandacht kreeg in 2020 is het wel de verspreiding van het nieuwe coronavirus. De situatie roept bij iedereen vragen op: hoe (snel) verspreidt het virus zich door de gehele bevolking en welke factoren bepalen dit? Hoe kun je de verspreiding beperken? En ook: hoe kun je deze verspreiding berekenen? In het algemeen is onderzoek hiernaar een interessant en multidisciplinair onderwerp, waarbij veel factoren meespelen. Het gaat hierbij om de besmettelijkheid van het virus, om de (natuurkundige) eigenschappen van de overdracht en over het gedrag van mensen. In dit artikel kijken we naar modelsimulaties van verspreiding van besmettelijke ziektes.

Om grip te krijgen op dynamische en complexe processen gebruiken we vaak rekenmodellen en computersimulaties, bijvoorbeeld voor berekeningen aan vloeistofstromingen, maar ook voor epidemieën.

Compartimentsmodellen

Voor een studie van de verspreiding van besmettelijke ziektes kun je compartimentsmodellen gebruiken. Binnen de totale bevolking verdeel je mensen in verschillende groepen (of compartimenten): één groep bevat het aantal gezonde mensen, de tweede het aantal besmette mensen en de laatste het aantal genezen en overleden mensen. Deze aantallen zijn, binnen het model, toestandsvariabelen die elkaar beïnvloeden.

In het geval van een pandemie zoals COVID-19 is een model dat gebruikt kan worden, het SIR-model. Hierin staat S voor het aantal vatbare (susceptible), maar nog gezonde mensen. I staat voor het aantal besmette (infectious) mensen, mensen die ook anderen kunnen besmetten. Als laatste heb je R, dat staat voor het aantal genezen (recovered) mensen of overleden (removed) is.

Deze compartiment beïnvloeden elkaar.

Figuur 1: SIR-model.

Dit model beschrijft een relatief eenvoudige situatie met weinig compartimenten. Je kunt het aantal compartimenten nog uitbreiden met onder meer: mensen die immuun geworden zijn, mensen die gevaccineerd zijn (in het geval er een vaccin bestaat), of mensen die blootgesteld zijn, maar nog niet ziek zijn.

Welke parameters zijn van belang?

Met dit model ga je dan berekenen wat de ‘instroom’ en ‘uitstroom’ van ieder compartiment is. Als we kijken naar de verspreiding van een virus, wat we in dit artikel doen, dan is vooral de overgang van S naar I van belang. Je wilt namelijk weten hoeveel extra personen besmet raken in hoeveel tijd. Dat geeft de instroom van I en tegelijk de uitstroom van S. 

Dit berekenen we met twee belangrijke parameters. Als eerste het reproductiegetal R (Reproduction Rate) dat aangeeft hoeveel personen een geïnfecteerd persoon gemiddeld besmet. Bij de waarde R=1 zal ieder besmet persoon gemiddeld gesproken één vatbaar persoon besmetten. Dat betekent dat het aantal nieuwe gevallen constant is. Dat noemen we een kritische groei. Bij R>1 zal het totaal aantal besmettingen groter worden, er is dan sprake van exponentiële groei. Bij R<1 zal het totaal aantal besmettingen dalen. Dat staat in de volgende figuur.

Figuur 2: Ontwikkeling van het aantal besmettingen in de tijd.

De tweede belangrijke parameter is de generatietijd, die aangeeft hoe lang het gemiddeld duurt voor een besmet persoon iemand anders besmet. Overdracht van het virus gaat namelijk niet onmiddellijk, daar is enige tijd voor nodig, meestal in de orde van dagen. In het geval van COVID-19 is dat ruim vijf dagen, zoals in dit artikel van de bepaling van de generatietijd te vinden is.

Het verband tussen deze twee parameters staat in deze formules:

   $\displaylines{\begin{aligned}I_n(t+g) &= I_n(t)*R \newline I_n(t+2g) &= I_n(t)*R*R \newline I_n(t+3g) &= I_n(t)*R^3\newline I_n(t+k) &= I_n(t)*R^{k/g}\end{aligned}}$

Hierin is In(t) het aantal nieuwe infecties op tijd t. En g is de generatietijd

R kun je dan berekenen met:

$R=I_n(t+g)/I_n(t)$

Met deze twee parameters kun je dan een computermodel laten lopen. Het model berekent hoeveel iedere toestandsvariabele af- en toeneemt in iedere rekenstap. Deze rekenstap kan bijvoorbeeld een dag zijn, dat betekent dat je dan voor iedere dag berekent hoeveel de af- en toename van de toestandsvariabelen is.

Deze rekenstap van een dag is relatief lang. We gebruiken in de natuurkunde soortgelijke rekenmodellen als voor virusverspreiding ook bijvoorbeeld voor de berekening van een kogelbaan rekening houdend met luchtwrijving. Dan is de tijdstap veel kleiner, bijvoorbeeld maar 0,1 of 0,01 seconden.

In het verspreidingsmodel van virussen kun je een grotere tijdstap hanteren, maar de tijdstap moet in dit geval wel kleiner zijn dan de generatietijd.

Reproductiegetal

Voor een goede modelberekening is het van belang dat deze twee parameters een juiste waarde hebben. Laten we even inzoomen op het reproductiegetal, zoals gezegd het gemiddeld aantal besmettingen dat veroorzaakt wordt door een persoon van de bevolking. In een populatie waarin geen vaccinatie en immuniteit aanwezig is, geeft dit getal de ‘natuurlijke’ reproductie weer. Anders gezegd: hoeveel andere mensen ieder besmet persoon ziek maakt als er geen (beperkende) maatregelen getroffen worden.

Figuur 3: SIR model met reproductiegetal. Bron Wikipedia.

Dit getal is voor iedere ziekte anders. Een aantal waarden staan in deze tabel:

Ziekte R
Mazelen 12 - 18
Polio 5 - 7
Aids 2 - 5
COVID-19 2,4 - 3,9
Ebola 1,5 - 2,5

Tabel 1: Het reproductiegetal voor een aantal ziekten. Bron: Wikipedia

Dat voor deze ziektes het reproductiegetal groter dan 1 is, betekent dat (zonder beperkende maatregelen) de besmettingen van deze ziekte van zichzelf exponentieel zal groeien, ieder besmet persoon besmet namelijk meer dan 1 persoon. Met maatregelen kun je deze groei beïnvloeden. Dat kun je bijvoorbeeld zien uit de berekening van R uit demografische gegevens en gegevens die kenmerkend zijn voor de infectie:

  $R=\frac{\beta N}{\delta}$

In deze formule is β de besmettingskans per contact, N het gemiddeld aantal contacten per tijdseenheid en δ de genezingssnelheid.

De waarde van R kun je dus verkleinen door 1) te zorgen dat de kans dat een besmet persoon een ander besmet afneemt (ofwel β kleiner te maken) of door 2) het aantal contacten van een besmet persoon met anderen te verminderen (ofwel N wordt kleiner). Beide samen kan natuurlijk ook. In deze gevallen wordt het virus minder makkelijk overgedragen, oftewel R wordt kleiner.

Verspreiding virus

Virussen verspreiden zich op verschillende manieren van mens tot mens. Kenmerkend is dat het vaak erg snel gaat. ‘Viral gaan’ betekent niet voor niets een razendsnelle verspreiding van een (nieuws)bericht op de sociale media. In het geval van het huidige coronavirus begint de verspreiding via uitademing, met praten maar vooral met heftige uitademing zoals hoesten en niezen. Slijmdruppeltjes met het virus komen in de lucht en kunnen andere mensen bereiken die het dan weer inademen. Ook kan het virus oppervlakken bereiken zoals je handen of deurklinken en kranen. Als je dan contact hebt met dat oppervlak (zoals bij handen schudden of een winkelkarretje) en vervolgens met die hand weer aan je mond, neus of ogen komt, kan het virus zich verspreiden.

De mate waarin deze druppeltjes tot besmetting leiden, hangt van veel factoren af. Van andere virussen dan corona maar die zich ook via de lucht verspreiden, is bekend dat luchtvochtigheid, uv-straling, het soort oppervlak waarop het virus terecht komt, de aanvankelijke hoeveelheid virusdeeltjes en de druppelgrootte allemaal een rol spelen.

Vloeistofdynamica

Het gedrag van druppeltjes in de lucht is onderwerp van de vloeistofdynamica. Veel details van dit gedrag zijn nog niet bekend. Verschillende instituten voor vloeistofdynamica doen daarom momenteel onderzoek hiernaar. Met name gaat het dan over het (verschillend) gedrag bij verschillende druppelgroottes. De grootte van de druppeltjes bij uitademing of niezen verschilt nogal, van 1 millimeter doorsnede (de grootste) tot minder dan 1 micrometer (de kleinsten).

De grotere druppeltjes (alles groter dan 5-10 micrometer) komen bij rustig uitademen niet zo erg ver. Maar bij heftig niezen kunnen ze de anderhalve meter ver overschrijden. Kleinere druppeltjes met een diameter kleiner dan 5 micrometer, ook wel aerosolen genoemd, komen veel verder. In dit YouTube filmpje van Detlef Lohse kun je (op 3:34) dit heel goed zien.

Beperkende maatregelen

Uit het model van de virusverspreiding is duidelijk dat het reproductiegetal een grote rol speelt. Dit is echter geen vaststaand getal. Zoals aangegeven is het opgebouwd uit de kans op overdracht van het virus en het aantal contacten dat besmette personen hebben. Deze twee zijn beide via gedragsmaatregelen te beïnvloeden. Een aantal hiervan kennen we ondertussen erg goed uit de lockdownperiode vanaf maart 2020. Voorbeelden zijn isoleren van besmette personen, dragen van effectieve mondkapjes of regelmatig wassen van handen.

Als mensen onderling afstand houden, ook wel social distancing genoemd, wordt de kans op verspreiding door contact kleiner en loop je ook minder kans besmet te raken door hoest- en niesdruppeltjes.

Een andere maatregel is het dragen van mondkapjes. Daarmee proberen we de verspreiding bij de bron aan te pakken, door te zorgen dat eventueel besmette mensen bij uitademing geen virussen in de lucht brengen. Het effect van mondkapjes is te zien in dit YouTube filmpje van Christan Kähler.

(Beide YouTube filmpjes zijn afkomstig van een Webinar van de KNAW over de verspreiding van het coronavirus.)

Afsluitend…

Het reproductiegetal is erg belangrijk in modelstudies om te bepalen hoeveel mensen besmet raken bij de verspreiding van een virus. Dit getal is voor veel ziekten bekend. Ook bekend is wat de invloed van beperkende maatregelen is, maar niet van alle maatregelen is dat tot in detail bekend en vooral niet waarom. Natuurkundig gezien is de vloeistofmechanica van druppels in de lucht zeer interessant en momenteel onderwerp van veel studies, zoals die van Detlef Lohse. Daarmee hopen we meer inzicht te krijgen in wat de effecten zijn van het gedrag van vloeistofdruppeltjes op de reproductiefactor.