Icon left Vorige Icon up Overzicht Volgende Icon right

Hoe bouw je een beeld op met Fouriertransformatie?

Onderwerp: Beeld en geluid, Signaalverwerking

Begrippen: Frequentie

Bij de eerste foto van een zwart gat is het beeld dat je ziet opgebouwd uit verschillende beeldfrequenties. Wat zijn beeldfrequenties? Hoe kun je uit beeldfrequenties een beeld opbouwen en wat doe je als er informatie over het beeld ontbreekt?

Elke signaal dat je meet in de tijd heeft een specifieke vorm. Je zou deze vorm kunnen namaken door sinussen met verschillende frequenties en fasen bij elkaar op te tellen. Dit is wat je doet bij het maken van een Fouriertransformatie. Wat je dan krijgt is een set met frequenties, waaruit het signaal is opgebouwd. Als je nu een omgekeerde Fouriertransformatie uitvoert, dan kun je met de set sinussen met verschillende frequenties weer het oorspronkelijke signaal opbouwen.

Fouriertransformatie

Figuur 1: Een functie in het tijddomein wordt omgezet in een optelling van verschillende sinussen. Hiermee krijg je een set frequenties in het frequentiedomein. Afbeelding: Imgur (aangepast).

Beeldfrequenties

Hetzelfde kun je ook doen met een beeld. Stel je hebt een zwart-witfoto en je neemt een lijn van de linker naar de rechterkant van de foto. Elk punt op deze lijn heeft een bepaalde grijswaarde of amplitude. Zo krijg je een grafiek waarbij op de x-as de plaats op de foto staat en op de y-as de grijswaarde. Als je van deze grafiek een Fouriertransformatie maakt, dan krijg je een set beeldfrequenties. Doe je dit voor heel veel horizontale en verticale lijnen van de foto, dan heb je de hele foto ontleed in beeldfrequenties. Als je al deze informatie dan weer terug transformeert, dan krijg je het oorspronkelijke beeld (de foto) weer te zien.

Figuur 2: In dit filmpje zie je dat uit een set sinussen met verschillende frequenties, amplitudes en richtingen een beeld wordt opgebouwd.

Foto zwart gat

De eerste foto van een zwarte gat is ook een afbeelding opgebouwd uit verschillende beeldfrequenties. Je zou de foto kunnen vergelijken met een partituur van een muziekstuk. Zoals de partituur is opgebouwd uit verschillende noten, zo is de foto opgebouwd uit verschillende beeldfrequenties. Je kunt je voorstellen dat bij iedere meting met twee telescopen de afstand tussen de telescopen (gezien vanuit de bron) bepaalt voor welke beeldfrequentie deze combinatie gevoelig is. Dus dit bepaalt welke noot uit de partituur je waarneemt.

Onscherp beeld

Omdat je met de acht telescopen – het aantal telescopen dat gebruikt is om een foto te maken van een zwart gat – samen nog niet over alle mogelijke tussenafstanden (en dus beeldfrequenties) beschikt, meet je als het ware niet alle noten en ontbreken er noten uit je muziekstuk. Zo is het ook met de foto: je mist een groot aantal beeldfrequenties, waardoor je niet over alle informatie van het beeld beschikt. De maximale afstand tussen de telescopen op aarde waarmee gemeten is, bepaalt bovendien wat de fijnste structuur in het beeld is die je kunt meten. De hierdoor beperkte beeldresolutie zorgt ervoor dat de foto van het zwarte gat nog wat onscherp is.

Beeld reconstrueren

Toch kun je ondanks het ontbreken van informatie een afbeelding maken. Net als dat je bij het ontbreken van geluidsinformatie tijdens een telefoongesprek elkaar toch kunt verstaan. In dat geval hoor je niet alle frequenties van het eigenlijke geluid en missen vooral de hoge en lage frequenties. Maar je kunt elkaar toch verstaan, omdat je hersenen dit kunnen omzetten. Ook bij het samenstellen van een beeld uit de metingen met telescopen zijn er manieren om het gebrek aan informatie te omzeilen en het volledige beeld te reconstrueren.

Reconstructie

Om toch een beeld op te bouwen, terwijl er beeldfrequenties missen, moeten er aannames gedaan worden. Dat maakt het reconstrueren van het beeld lastig, omdat je goed moet nagaan of de structuur die je ziet een weergave is van wat je werkelijk zou moeten zien of het gevolg is van een aanname die je in het reconstructieproces hebt gedaan. Om meer zekerheid te krijgen dat wat je ziet niet ligt aan de aannames, hebben ze bij het maken van de afbeelding van het zwarte gat in vier onafhankelijke teams een beeldreconstructie gedaan. Alle vier de teams hebben gebruikgemaakt van verschillende beeldvormingsalgoritmes. Pas nadat de teams klaar waren, zijn de resultaten vergeleken en bleek dat de beelden verbazend goed overeenkwamen.

Eerste beelden zwart gat

Figuur 3: Eerste beeldvorming van het zwarte gat door vier onafhankelijke teams die gebruikmaakten van verschillende algoritmes. Afbeelding: EHT Collaboration.