Icon up Overzicht

Zuigermotoren 1: (p,V)-diagrammen

Onderwerp: Kracht en beweging

Zuigermotoren zijn motoren die opgebouwd zijn uit een of meer cilinders waarin zuigers heen en weer worden bewogen, meestal door het laten instromen of uitzetten van een gas dat zich in deze cilinders bevindt. Een zuigermotor hoeft dan ook niet per se een verbrandingsmotor te zijn. Die heen-en-weergaande (lineaire) beweging van de zuigers wordt meestal omgezet in een draaiende beweging, zodat de zuigers van een automotor uiteindelijk de wielen laten draaien. In de volgende hoofdstukken van deze serie artikelen zal een uitgebreide uitleg worden gegeven van verschillende types zuigermotoren: de viertaktmotor, de dieselmotor, de stoommachine en de Stirlingmotor (zie volgende hoofdstukken). Een belangrijk hulpmiddel bij het karakteriseren van een zuigermotor is het zogenaamde (p,V)-diagram, dat in dit artikel zal worden uitgelegd.

Figuur 1: Veralgemeniseerde weergaven van een zuigermotor: een zuiger beweegt in een cilinder op en neer. Het gas in de cilinder heeft een bepaalde druk p en een volume V, die tijdens de cyclus van de motor veranderen.

Een (p,V)-diagram is een diagram waarin de druk (p) van het gas dat zich in de cilinder bevindt uitgezet wordt tegen het volume (V) van die cilinder. Dat volume wordt bepaald door de stand van de zuiger; aangezien die heen en weer beweegt, verandert het volume ook steeds. Aangezien een zuigermotor steeds weer dezelfde slagen maakt, en dus na een bepaald aantal slagen weer precies terug is in de uitgangspositie, ontstaat er in het (p,V)-diagram altijd een gesloten figuur dat aangeeft wat er tijdens een hele cyclus gebeurt. Een voorbeeld van zo’n diagram is weergegeven in figuur 2.

Er zijn verschillende soorten processen ('bewegingen') mogelijk in zo’n (p,V)-diagram, die ook in figuur 2 weergegeven zijn:

  • 1. Isobaar, oftewel 'bij constante druk'. Een isobaar proces wordt in het diagram weergegeven door een horizontale lijn, want alleen het volume verandert.
  • 2. Isochoor, oftewel 'bij constant volume'. Een isochoor proces wordt in het diagram weergegeven door een verticale lijn: de druk verandert, maar het volume blijft gelijk.
  • 3. Isotherm, oftewel 'bij constante temperatuur'. Voor een ideaal gas geldt de relatie p*V = N*k*T (dat heet de 'ideale gaswet'). Daarin is N het aantal gasdeeltjes, k is de constante van Boltzmann en T is de temperatuur (in Kelvin). Als de temperatuur en het aantal deeltjes constant blijven, moet het product van p en V ook constant blijven. De druk moet dan dus omgekeerd evenredig zijn met het volume.
  • 4. Adiabatisch, oftewel 'bij constante interne energie'. Tijdens een adiabatisch proces gaat er geen energie van het gas verloren en komt er ook geen energie bij. Dit kan gebeuren als het volume groter wordt, terwijl de temperatuur en de druk van het gas tegelijkertijd dalen. Dit gebeurt bijvoorbeeld tijdens de Carnotcyclys.

Figuur 2: voorbeeld van een (p,V)-diagram, waarin de druk van het gas in de motor is uitgezet tegen het beschikbare volume in de cilinder voor een hele cyclus van de motor. Deze hypothetische thermondynamische cyclus bestaat uit een isobaar (1), een isochoor (2), een isotherm (3) en een adiabatisch (4) proces.

Uit het (p,V)-diagram kan veel informatie over de cyclus van de motor worden gewonnen, zoals de netto arbeid (energie) die de motor per cyclus kan leveren. Om te begrijpen hoe dat werkt, moeten we eerst even kijken naar wat het begrip ‘arbeid’ überhaupt inhoudt.

Arbeid

Arbeid is een vorm van energie, en een maat voor de hoeveelheid inspanning die moet worden verricht om een voorwerp over een bepaalde afstand te verplaatsen. Als er een constante kracht (F) uitgeoefend wordt op een voorwerp, en dat voorwerp wordt daardoor over een bepaalde afstand (s) verplaatst, dan is de geleverde arbeid (W), die gemeten wordt in Joule (J), gelijk aan het product van die twee:

W = F * s

Als die kracht echter niet over de hele weg gelijk is, dan moet de kracht geïntegreerd worden over de hele weg. Met andere woorden, als er een grafiek gemaakt wordt waarin de kracht wordt uitgezet tegen de positie, dan is de arbeid gelijk aan de totale oppervlakte onder deze grafiek, zoals in figuur 4.

Figuur 3: Stel, een voorwerp wordt van punt a verplaatst naar punt b onder invloed van een kracht F, die niet constant is over de weglengte, dan is de totale arbeid gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van F tegen s tussen punten a en b.

In het geval van een zuigermotor zou het theoretisch gezien ook mogelijk zijn om zo’n grafiek te maken om de geleverde arbeid te berekenen. Het is echter veel makkelijker om de druk tegen het volume uit te zetten, aangezien die twee grootheden veel makkelijker te bepalen zijn. Dat zo’n grafiek hetzelfde oplevert, is redelijk makkelijk te zien, en wel als volgt: . De druk is gelijk aan de kracht per oppervlakte, dus om de kracht van het gas op de zuiger te bepalen, moet je de druk vermenigvuldigen met de oppervlakte van de zuiger (oppervlakte A in figuur 1). Om de afgelegde weg van de zuiger te bepalen, moet je het volume van de cilinder juist weer delen door deze oppervlakte; dan krijg je immers de lengte van de cilinder. Als je deze twee met elkaar vermenigvuldigt vallen deze twee bewerkingen precies tegen elkaar weg, aangezien beide oppervlaktes altijd dezelfde zijn. Zo bereken je uiteindelijk precies hetzelfde als wanneer je F tegen s uitzet.

Nu scheelt het natuurlijk ook nog in welke richting de zuiger eigenlijk beweegt. Immers: op het moment dat het gas uitzet, wordt er een kracht uitgeoefend op de zuiger, maar als de zuiger terugbeweegt (bijvoorbeeld tijdens een compressieslag, om de brandstof in de cilinder samen te persen), oefent de zuiger juist een kracht uit op het gas. Daarbij geeft de zuiger dus arbeid ‘terug’ aan het gas. De totale arbeid die de motor kan leveren is logischerwijs gelijk aan de arbeid die het gas op de zuiger uitoefent min de arbeid die de zuiger weer op het gas uitoefent, en zoals je in figuur 5 ziet, is dat gelijk aan de oppervlakte die omsloten wordt in het (p,V)-diagram.

Figuur4: De arbeid die een zuigermotor kan leveren is gelijk aan de arbeid die door het gas op de zuiger wordt uitgeoefend (uitgaande slag; punt 1 naar punt 2) min de arbeid die de zuiger vervolgens aan het gas ‘teruggeeft’ (uitgaande slag; punt 3 naar punt 4), oftewel aan de oppervlakte die wordt omsloten in het (p,V)-diagram. Dit is een gegeneraliseerde versie van de zogenaamde Stirlingcyclus, waarbij het gas van de warme kant van een cilinder naar de koude kant wordt getransporteerd, wat de overgang tussen de twee isothermen verklaart. Zie ook het artikel over de Stirlingmotor.

Efficiëntie

Dit betekent dat een motor waarvan de (p,V)-cyclus een grote oppervlakte omsluit, veel arbeid kan leveren. Dat betekent echter nog lang niet dat de motor ook efficiënt is. Een efficiënte motor is namelijk een motor die zo veel mogelijk van de energie die de brandstof levert ook daadwerkelijk gebruikt om iets aan te drijven. Die door de brandstof geleverde energie wordt in principe helemaal omgezet in arbeid tijdens tijdens de uitgaande slag, dus als de motor vervolgens erg veel arbeid moet terugleveren aan het gas, wordt maar weinig van deze beschikbare energie ook daadwerkelijk nuttig gebruikt.

Aangezien het aantal slagen per cyclus en de vorm van het (p,V)-diagram per motor verschillend is, kan deze efficiëntie voor verschillende typen motoren op verschillende manieren worden geoptimaliseerd, zoals in de volgende hoofdstukken van deze serie zal blijken.