De stelling van Euler zegt dat ieder gesloten oppervlak met een gegeven vorm, opgebouwd uit veelhoeken, een Euler karakteristiek E heeft dat gegeven wordt door de som van alle vlakken en hoekpunten min de som van alle ribben en dat alleen afhangt van de vorm van het oppervlak. Voor een bol vindt men E=2, voor een tulband E=0, terwijl alle andere oppervlakken E < 0 hebben. Twee oppervlakken hebben dezelfde vorm, indien ze door rekken en krimpen, maar niet door knippen en plakken, identiek aan elkaar gemaakt kunnen worden. Zo heeft bijvoorbeeld een kubus de vorm van een bol. Inderdaad heeft een kubus 6 vlakken, 8 hoeken en 12 ribben, zodat E=2.
Moraal van dit verhaal; wetenschap is niet in hokjes te verdelen, je gebruikt hier scheikunde, natuurkunde, wiskunde en zelfs sterrenkunde allemaal te gelijk, kijk maar eens op de site over de Nobelprijs.
Voor echt alles over ballen moet je deze site maar eens bekijken (ja, de buckyball wordt er ook besproken).
Suggesties voor onderzoek:
- Maak een tulband uit 8 aaneengesloten kubussen en ga na dat E=0.
- Waarom is voor de buckyball E=2?
- Noem p het aantal zesvlakken en q het aantal vijfvlakken. Beredeneer dat het aantal hoekpunten gegeven wordt door (6p+5q)/3, het aantal ribben door (6p+5q)/2 en het aantal vlakken door p+q.
- Laat nu met behulp van Euler's stelling zien dat q=12, maar dat p onbepaald blijft.
- Waarom zou je denken dat C20 de kleinste Buckyball is. Het blijkt echter dat deze niet voorkomt en dat C32 de kleinste Buckyball is. C60 is de meest stabiele.
- Beredeneer dat voor C60 (``Mr. Buckyball'') alle dubbele bindingen (om en om in de vorm van een benzeenring) op de zeshoeken kunnen zitten. De vorm van Mr. Buckball is dan ook precies die van een voetbal.
