Icon up Overzicht

De valversnelling bij bungeejumpen

Onderwerp: Arbeid en energie, Kracht en beweging, Rechtlijnige beweging

Begrippen: Zwaartekracht

Iedereen krijgt op de middelbare school vroeg of laat uitgelegd dat de versnelling bij een vrije val op aarde altijd gelijk is aan g (= 9.8 m/s2). Dit is onafhankelijk van de massa van het object. Dit komt doordat bij een grotere massa er meer zwaartekracht op de zware massa werkt maar er tegelijkertijd ook meer kracht nodig is om de massa te versnellen. Dit heft elkaar dus op. Toch kun je bij een vallend voorwerp er niet altijd van uitgaan dat het met de valversnelling versnelt. Bungeejumpen is hier een goed voorbeeld van. Hierbij bereik je namelijk een versnelling hoger dan de valversnelling g.

Figuren 1 en 2: Enkele voorbeelden van bungee jumps

Bij een bungeejumper speelt niet alleen de massa van de jumper een rol, ook de massa van het elastiek heeft invloed. We hebben het hier nog niet over wanneer het elastiek al strak gespannen is en uitrekt maar puur over het eerste gedeelte van de sprong, wanneer het elastiek nog slap hangt.
Belangrijk is om op te merken dat bij een bungeejumper het elastiek aan een kant vast zit aan de jumper terwijl het aan de andere kant vast zit aan de springbak. Dit heeft als gevolg dat een deel van het elastiek meevalt en het andere deel gewoon blijft hangen. Denk hier goed over na want dit is essentieel voor het verkrijgen van een hogere valversnelling dan g.
Bedenk dan ook dat het vallende gedeelte van het elastiek steeds korter wordt. Als je dit niet meteen doorhebt kijk dan in de rechter figuur hierboven. Hierin kun je zien dat het vallende gedeelte van het elastiek kleiner wordt in lengte naarmate de jumper verder valt.

Om het best te begrijpen waarom er een hogere valversnelling ontstaat is het handig om na te denken over de energieën die hier een rol spelen. De energieën die van belang zijn voor dit probleem zijn de kinetische energie van de springer, de kinetische energie van het elastiek, de potentiële energie van de springer en de potentiële energie van het elastiek. Tijdens het vallen krijgt de jumper en het vallende elastiek kinetische energie maar als je nou iets later kijkt naar de situatie zie je dat het nog vallend gedeelte van het elastiek iets korter is.
Er is dus een stuk elastiek dat eerst snelheid had (en dus kinetische energie) tot stilstand gekomen. De vraag is dan: waar is die energie naartoe? Die energie kan alleen maar overgegeven zijn aan de jumper en de rest van het vallende elastiek. Dus even op een rijtje: normaal maak je een vrije val en wordt je potentiële energie omgezet in kinetische energie. Dit levert dan op dat je met de valversnelling valt. Bij het geval van bungeejumpen maak je ook een vrije val maar, er komt nog energie bij van het steeds verder tot stilstand komende elastiek.

Als springer ontvang je dus meer energie dan je zou doen als je gewoon vrij zou vallen. Meer kinetische energie per seconde betekent hogere snelheidstoename dan normaal dus: Een valversnelling die hoger is dan g!

Figuur 3

Een natuurkundige vraagt zich dan meteen af: hoeveel groter is dat dan?
Daarvoor hebben ze in de natuurkunde formules uitgevonden zodat kwalitatieve gegevens omgezet kunnen worden naar kwantitatieve gegevens, maar omdat dit geen lesje vergelijking oplossen is gaan we hier niet de volledige afleiding laten zien (voor de liefhebbers zie onderaan de link voor de volledige afleiding).

Het belangrijkste is in feite om te begrijpen dat het opstellen van de juiste energie balans de sleutel is tot dit probleem. Hierdoor krijg je namelijk een vergelijking waarin de snelheid v en de afstand y en een aantal constanten voorkomen. De relevante constanten zijn de lengte van het elastiek L, de massa van de jumper M, de massa van het elastiek m en de ‘gewone’ valversnelling g.
Omdat de versnelling de afgeleide naar de tijd van de snelheid is kun je met deze vergelijking de versnelling uitrekenen (met enige wiskundige vaardigheid). We zijn geïnteresseerd in waar de versnelling het grootst is en dat is waar y = L, dus waar het elastiek (nog zonder uitrekking) net volledig is "uitgelegd" en dus niet meer valt. Dit komt omdat daar de hoogste snelheid van het laatste gedeelte nog vallend elastiek is bereikt en dus daar het meeste elastiek per seconde tot stilstand wordt gebracht en daar dus de meeste energieoverdracht van het elastiek naar de persoon plaatsvindt. Dat resulteert in de grootste versnelling van het valtraject.
Het resultaat van de versnelling bij y = L komt na uitwerking van de energiebalans uit op:

Hier kun je goed zien dat de versnelling gelijk aan g is plus een bepaalde factor die afhangt van de massa van de jumper M en die van de massa van het elastiek m. Stel bijvoorbeeld dat het elastiek even zwaar is als de jumper dan geld m = M. Dan wordt de de valversnelling

Interessant is ook om na te denken over het verloop van de versnelling tijdens het complete bungeejump traject. Dit is het beste te zien in een figuur en een grafiek.

Figuur 4: Schematisch verloop van de bungeejump

Figuur 5: Grafiek waarbij de valversnelling is uitgezet tegen de tijd. De verschillende nummers komen overeen met de nummers uit de vorige figuur

De nummers in figuur 4 komen overeen met de nummers uit de grafiek van figuur 5. Even op een rijtje wat er op elk tijdstip gebeurt:

  • Op tijdstip 1 begint de jumper aan zijn sprong en heeft nog geen snelheid en zal dus met a = g vallen, de massa van het elastiek heeft dan immers geen invloed.
  • Op tijdstip 2 is de jumper aan het vallen met verhogende versnelling doordat zijn snelheid toeneemt en dus ook de elastiek energie overdracht.
  • Vlak voor tijdstip 3 is de versnelling het grootst maar op het zelfde tijdstip is het elastiek “op” en zal het geen invloed meer hebben op de extra valversnelling, waardoor de versnelling terugvalt tot de gewone valversnelling g. Ook beginnen daar de elastische eigenschappen van het elastiek tegen de valrichting in te werken.
  • Op tijdstip 4 levert het elastiek net zoveel kracht als de zwaartekracht en is er dus helemaal geen versnelling
  • Op tijdstip 5 heeft de jumper zijn diepste punt bereikt en dus ook de maximale negatieve versnelling.
  • Op tijdstip 6,7 en 8 gebeurt er hetzelfde als op tijdstip 4,3 en 2 maar dan met een omhoog gerichte snelheid.

Het belangrijkste om te onthouden is dat je door de invloed van het elastiek een hogere versnelling kan bereiken dan g ook al is dat misschien niet wat je meteen zou denken. De mensen die bungeejumpen al ondervonden hebben en het niet meer uitdagend genoeg vinden weten wat ze te doen staat: een keer gaan bungeejumpen met een flinke hoeveelheid lood verwerkt in het elastiek. Ook kun je zeggen dat bijvoorbeeld BASE jumpen of skydiven veel minder spannend is dan bungeejumpen omdat je slechts met een versnelling g valt. In ieder geval hoop ik dat dit artikel je laat zien dat natuurkunde niet meteen over higgs deeltjes, relativiteit of zwarte gaten hoeft te gaan om uitdagend en verrassend te zijn.

Relevante links:
De discussie over het onderwerp binnen het natuurkunde wereldje is op deze link te vinden. Hier is ook de volledige afleiding van de versnellingsfunctie te vinden.