Icon up Overzicht

Snooker met zandkorrels

Onderwerp: kracht en beweging, licht

Hoe verdelen de krachten zich in een stapel zandkorrels? Ondanks dat dit probleem van groot belang is in de industrie, en in zekere zin al eeuwen bestudeerd wordt, is er geen simpel antwoord op deze vraag. Het is moeilijk krachten tussen individuele zandkorrels direct te meten. Er is echter een truc om met behulp van het foto-elastisch effect de zogenaamde krachten in beeld te brengen, zie onderstaand filmpje.

Figuur 1. Krachten netwerken in een stapel foto-elastische schijfjes. Als er geen of weinig kracht op de deeltjes staat, laten zij bijna geen licht door. Maar zodra ze een contactkracht ondervinden, zien we witte 'banden' verschijnen. En hoe meer banden, hoe groter de kracht. Een praktische toepassing van krachtennetwerken is bijvoorbeeld graansilos. Als in een graansilo de krachten tussen deeltjes te groot worden, kan de silo omvallen of kapotscheuren. Een andere toepassing is bijvoorbeeld het rondpompen van katalysatordeeltjes in een chemische fabriek.

Foto-elastisch effect

Het foto-elastisch effect werkt als volgt. Licht kan op verschillende wijze gepolariseerd worden. Als je lineair gepolariseerd licht door een tweede polarisator laat vallen, dan kun je eenvoudig zien dat de hoeveelheid licht afhangt van de hoek tussen de twee polarisatoren. De meeste plastics hebben de neiging de polarisatierichting van licht te verdraaien. Als je dus gepolariseerd licht op zo'n materiaal laat vallen en er op drukt, dan verandert de polarisatierichting met de druk. Bekijk je dit door een tweede polarisator, dan kun je krachten zien. Hieronder zie je een voorbeeld met een foto-elastische smurf.

Figuur 2. Een foto-elastische smurf die in elkaar gedrukt wordt. Deze smurf bevindt zich tussen twee verticale plaatjes. Gepolariseerd licht wordt achter op de smurf geschenen, en van voren kijken we hiernaar door een tweede polarisator. We weten niet precies waarom zich dit soort krachtnetwerken vormen. Dat is een van de redenen dat deze netwerken, die ook in andere korrelmaterialen (zoals graan, poeders en cement) voorkomen, op dit moment erg in de belangstelling staan binnen de natuurkunde.

Er is een ding dat we wel begrijpen. Een belangrijke reden voor het ontstaan van deze krachtnetwerken : de grootte van de krachten is niet eenduidig bepaald door krachtevenwicht. Dit heeft te maken met frictie en met de hoeveelheid contacten tussen de individuele korrels.

Figuur 3. Een gele cilinder ligt in een wig en ondervindt een zwaartekracht die gelijk is aan de zwarte pijl. Omdat de cilinder niet beweegt, moet de zwaartekracht (zwarte pijlen) gecompenseerd zijn door twee normaalkrachten (blauwe pijlen) en twee wrijvingskrachten (groene pijlen). Als er geen wrijvingskrachten zijn (linker plaatje), is het duidelijk hoe groot de normaalkrachten zijn, want deze moeten de zwaartekracht compenseren. Echter, als de wrijvingskrachten niet gelijk zijn aan nul (rechterplaatje), kunnen we niet zomaar voorspellen hoe groot alle krachten zijn bij evenwicht. Er zijn ontelbare combinaties mogelijk.

Wetten van Newton

Volgens de wetten van Newton moeten de krachten op elke korrel elkaar precies compenseren in een stilstaande stapel zandkorrels. Bekijk het krachtenevenwicht in een cilinder in een wig (figuur 3). Als er geen wrijving zou zijn (linker plaatje), dan zouden de twee contactkrachten gelijk in grootte zijn en precies het gewicht van de cilinder balanceren. Maar met wrijvingskrachten meegerekend, zijn er ontelbare krachtconfiguraties die overeenkomen met evenwicht (rechterplaatje). Uiteraard zal in een echt experiment slechts een van deze configuraties geselecteerd worden, maar welke is afhankelijk van allerlei details. Bijvoorbeeld van hoe de cilinder in de wig is geplaatst en dat is in het algemeen slecht te voorspellen. We maken een uitstapje naar snookerbiljart.

Krachten op snookerballen

Figuur 4. Verschillende krachtennetwerken van een snookersysteem. De nettokracht op elke van de witte ballen is steeds gelijk aan nul. De witte ballen vormen een snookerdriehoek van 6 ballen. Deze witte ballen worden omgeven door 9 gele ballen die de rand van de snookerdriehoek voorstellen. De gele ballen worden door externe krachten op hun plaats gehouden.

Tussen de verschillende ballen treden krachten op; dit zijn er in totaal 18. De grootte van een kracht is evenredig met de dikte van de lijn. In al deze zogenaamde krachtennetwerken is steeds de nettokracht op elke witte bal gelijk aan nul. Zelfs als we wrijving buiten beschouwing laten, volgen de krachten niet alleen uit krachtenevenwicht op elke snookerbal (figuur4). Beschouw biljartballen in een regelmatige stapeling zoals je bij snooker zou tegenkomen. Elke bal is in contact met zijn 6 buren. Dan blijkt dat er zeer veel krachtenverdeling mogelijk is waarbij alle ballen in evenwicht zijn. In figuur 4 zie je een aantal van deze krachtennetwerken getekend. De dikte van de lijntjes is evenredig met de sterkte van de kracht. Ondanks dat dit een simpel model is, lijken de krachtennetwerken sterk op die uit figuur 1. Het analyseren van alle mogelijke combinaties van krachten in evenwicht op elke bal levert nieuwe informatie op over het ontstaan van krachtnetwerken in zandhopen.

Zandhopen? Wil je meer weten over het effect van deze krachten in zandhopen lees dan het artikel Stromen van zand.

Deze bijles/uitleg is een onderdeel van een omvangrijk pakket "natuurkundig modelleren". Voor het totale overzicht van dit materiaal kun je de overzichtspagina "natuurkundig modelleren" bekijken.

Deze modellering van krachtennetwerken staat beschreven in een recent artikel in Physical Review Letters uit 2004. Referentie:-J.H. Snoeijer, T.J.H. Vlugt, M. van Hecke and W. van Saarloos, Force network ensemble: a new approach to static granular matter, Phys. Rev. Lett. 92, 054302 (2004).