Icon left Vorige Icon up Overzicht Volgende Icon right

Wiskundig bewijs: maximaal vermogen

Onderwerp: elektrische stroom

In het artikel 'Maximaal vermogen bij een niet-ideale spanningsbron' wordt een schakeling doorgerekend voor drie verschillende weerstanden. Vervolgens wordt deze berekenig overgedaan door het modelleren van nog eens een paar honderd waardes van de weerstand.

Hieruit volgt dat een apparaat het meeste vermogen levert als het aangesloten is op een spanningsbron waarvan de inwendige weerstand net zo groot is als de weerstand van het apparaat. Apparaat en voeding moeten dus op elkaar afgestemd zijn.

 Hoewel je het dus eigenlijk uit al die voorbeeldberekeningen wel weet (dat het vermogen maximaal is wanneer de inwendige weerstand en de uitwendige weerstand aan elkaar gelijk zijn) is dit nog geen sluitend bewijs. In dit artikel gebruiken we de wiskunde (met name afgeleides) om dit te bewijzen. De hier gegeven uitwerking heeft een sterk wiskundig karakter, zal niet voor elke lezer tot de basiskennis behoren maar het moet in principe wel te volgen zijn.

 

 Uitwerking van deze opgave is gemaakt in het kader van de cursus 'Elektriciteit en Magnetisme' van de lerarenopleiding natuurkunde van de Hogeschool Utrecht.

 

  

 De vergelijking voor het vermogen

 

 

Om te berekenen hoe groot het vermogen is dat in weerstand R2 ontwikkeld wordt, gebruiken we de basisformule:

 

Omdat we hier te maken hebben met ene serieschakeling, is de stroomsteerkte overal in de kring gelijk. We noemen dat hier Itotaal en daarvor geldt:

 

 Merk op dat hierbij geldt Rtot = R1 + R2

Het vermogen voor weerstand R2 is dus de Itot vermenigvuldigd met U2, de spanning over weerstand R2. Hiervoor geldt:

 

Wanneer we nu dit met elkaar combineren, vinden we:

 Ga voor jezelff na of je deze afleiding kunt volgen en wellicht reproduceren. Je kunt het ook stap voor stap bekijken in het filmpje dat onderaan dit artikel is gegeven.

In het eerder genoemde artikel heb je voor drie verschillende waardes van R2 het vermopgen berekend (we hadden voor telkens Utot = 10 Volt en R1 =10 Ohm gebruikt dat R2 = 1 Ohm, R2 = 10 Ohm en R2 = 100 Ohm).

Ga na dat uit dit artikel dezelfde uitkomsten komen voor P wanneer je dat invult in de bovenstaande formule.

 

Afgeleide van de functie

 Als we de vergelijking voor het vermogen bekijken, dan zien we daarin een constante Utot een constate R1 en een variabele R2. Wiskundig gezien is dit dus van de vorm:

 

Waarbij het het voor het bepalen van het maximum van deze functie niet uitmaakt wat de waarde van de constante C is (zolang die maar niet nul is maar dan is het hele sommetje zinloos).  

We kunnen dus voor het bepalen van de x waarvoor deze functie maximaal is, gewoon rekenen met de vergelijking:

 Waarbij de x natuurlijk staat voor R2 en de a voor R1.

 

We weten dat een functie een maximum heeft als de afgeleide nul is. Maar in dit geval is het niet een heel eenvoudige functie om de afgeleide te bepalen. Gelukkig kunnen we deze functie splitsen en schrijven als:

 Hierbij gaan we voor het bepalen van de afgeleide de productregel gebruiken. We weten immers dat voor het geval dat:

 dan geldt:

 

Als we uitgaan van deze vorm vinden we voor g(x) en h(x) en de daarbij behorende afgeleides:

 

 Dit betekent dat we voor de afgeleide van de productfunctie vinden:

 Als we dit netjes uitwerken, komt dat neer op: