Icon left Vorige Icon up Overzicht Volgende Icon right

Maximaal vermogen bij een niet-ideale spanningsbron

Onderwerp: elektrische stroom

Elke voeding (of spanningsbron) is in de praktijk te beschouwen als een ideale voeding in serie met een weerstand. Deze weerstand wordt de inwendige weerstand van de voeding genoemd. De voeding levert spanning aan de kring, in de kring gaat een stroom lopen en deze stroom loopt ook door de voeding (je merkt dat ook want de voeding wordt warm). Behalve het apparaat dat opgenomen is in de kring, gebruikt de voeding dus ook energie. Het is de bedoeling om zoveel mogelijk energie bij het apparaat te krijgen. Dat doe je door het type voeding zo te kiezen dat deze past bij het apparaat waarvoor je het gebruikt.

Zo'n apparaat kan van alles zijn: een mobiele telefoon die je oplaadt, een lampje waarbij je leest, het beeldscherm van je computer. De inwendige weerstand van de gebruikte voeding moet passen bij het apparaat.

In dit artikel gaan we na voor welke waarden de inwendige weerstand van de voeding en de weerstand van het apparaat dat er op aangesloten wordt het beste bij elkaar passen. Dat doen we door eerst voor enkele waarden de gehele schakeling door te rekenen en dan deze berekening te herhalen voor een zeer groot aantal weerstanden. In dat laatste geval (doorrekenen van heel veel waardes) gebruiken we de computer om voor ons te rekenen.  

 

De schakeling

De schakeling waar het om gaat is in onderstaande figuur schematisch weergegeven, waarbij R1 de inwendige weerstand van de voeding voorstelt en R2 de weerstand van het gebruikte apparaat.

 

 Figuur 1: de schakeling waarmee we werken in dit artikel

 

We rekenen in dit artikel met een spanning van U = 10,0 Volt en een inwendige weerstand van R1 = 10,0 Ohm voor de gebruikte voeding. Hiervoor berekenen we het vermogen van de weerstand voor de waarden van achtereenvolgens 1 Ohm, 10 Ohm en 100 Ohm.

 

Berekening voor drie gegeven waardes

Wanneer we de kring bekijken, dan zien we de twee weerstanden R1 (de inwendige weerstand van de bron) en R2 in serie staan. Dat betekent dat de totale weerstand van de kring 11 Ohm is. Bij een spanning van 10 Volt betekent dat dat de stroomsterkte 0,909 Ampere wordt.

De spanning die nu over de weerstand R2 staat is 0,909 Volt (eenvoudig te bepalen met U = I * R). Wanneer we U en I met elkaar vermenigvuldigen vinden we het vermogen P. En zo zien we dat in  dit geval het in R2 geleverde vermogen dus 0,81 Watt is.

Met deze werkwijze kun je voor elke waarde van R2 de gegevens berekenen.

 

  • Bepaal nu ook stroomsterkte, spanning en vermogen als R2 een waarde heeft van 10 Ohm.
  •  Bepaal vervolgens de stroomsterkte, spanning en vermogen als R2 een waarde heeft van 100 Ohm.

 In onderstaande tabel zie je alle waardes staan. Ga na of je zelf dezelfde uitkomsten gevonden hebt. Als je de berekeningen lastig vindt, kun je het geheel nog eens rustig nakijken op het filmpje hieronder.

 

 R2 (Ohm)  I2 (Ampere)  U2 (Volt)  P2 (Watt)
 1  0,909  0,909  0,81
 10  0,50  5,0  2,5
 100  0,0909  9,09  0,81

 Tabel 1: Verschiilende waardes van R2 doorgerekend.

 

Je ziet dat het vermogen bij 1 Ohm en bij 100 Ohm in beide gevallen 0,81 Watt is . Bij R2 = 10 Ohm is het vermogen het grootst, en wel 2,5 Watt.  

 

 

 Uitwerking van deze opgave is gemaakt in het kader van de cursus 'Elektriciteit en Magnetisme' van de lerarenopleiding natuurkunde van de Hogeschool Utrecht.

 

Modelleren: berekening voor een groot aantal waardes

 In het voorgaande deel hebben we de kring doorgerekend voor drie specifieke waardes van R2. Dit sommetje kun je natuurlijk heel vaak maken om op die manier de precieze waarde van het maximum te vinden. Dan weet je voor welke waarde van R2 het geleverde vermogen maximaal is. Voor dit doorrekenen maken we gebruik van de pc, we kunnen daarbij excel gebruiken maar in dit geval kiezen we voor het programma Coach.

 

Hierbij worden in eerste instantie de stroom door en de spanning over de weerstand berekend. Dat levert waardes op die in de twee onderstaande grafieken zijn weergegeven. Op de x-as staat de waarde van R2, op de y-as de stroomsterkte (direct hieronder, in bauw) en de spanning (tweede grafiek vanaf hier, in rood).

 

 

 Figuur 2: De waardes voor de stroomsterkte als functie van R2 weergegeven in een grafiek.

 

Figuur 3: De waardes voor de spanning als functie van R2 weergegeven in een grafiek.  

 

Het is goed te zien dat bij een lage waarde van de weerstand de stroomsterkte heel groot is maar de spanning heel klein. Bij een flink grote weerstand is de stroomsterkte minimaal maar de spanning juist weer heel groot. Ergens moet een punt zijn waarvoor de combi van deze twee het beste resultaat oplevert.

 

Maximaal vermogen

Het vermogen is maximaal as het product van spanning en stroom maximaal is (P = U*I). Dit laten we ook door de pc berekenen en dan krijgen we de resultaten zoals die in onderstaande grafiek zijn weergegeven. 

 

Figuur 4: Het vermogen als functie van de waarde van R2.

 

Het is duidelijk te zien dat er een piek optreedt rond de waarde R2 = 10 Ohm. Dat is precies ook de waarde van de inwendige weerstand R1. Het blijkt dat dit altijd het geval is: het vermogen dat een bepaald apparaat levert is maximaal als de weerstand van dit apparaat en de inwendige weerstand van de geruikte voeding aan elkaar gelijk zijn. Mogelijk ben  je door dit artikel hiervan al overtuigd maar als je voor deze uitspraak ook een wiskundig bewijs wilt, verwijzen we graag naar dit artikel.