Het probleem met je berekening (voor zover ik zie goed uitgevoerd maar v_0y is niet nul in het hoogste punt of elk punt: het is een beginsnelheid die op de grond wordt gegeven. De uiteindelijke v op hoogste punt is wel nul: v = -gt + v₀ = 0) is dat je niet de helling van de parabool kent bij het afschieten. Dat is wel te berekenen (moeizaam).
Maar ik denk dat je sneller klaar bent via de wet van energiebehoud.
Beneden is alles kinetisch (1/2 mv²)  waarbij ik aanneem dat de aandrijving alleen bij de start plaatsvindt (zo niet, dan wordt de berekening wel erg ingewikkeld want dan verliest de raket massa aan uitgestoten/verbrande aandrijfstof). Boven in de baan is de snelheid nul (geen kinetische energie) en alleen zwaarte-energie (mgh). 
Behoud van energie zegt dan energie beneden = energie boven  ofwel 1/2 mv² = mgh. Dan weet je de waarde van v  (de snelheid schuin omhoog).

De vertikale snelheid is de beginsnelheid en daarna de vertraging door de zwaartekracht:
v_y = v sin α  - gt
Op het hoogste punt die die 0, dus  v sin α = gt  en daarmee kun je t berekenen - nog wel als functie van α want die ken je nog niet.
Horizontaal beweegt de raket eenparig en legt in de t seconden 111 meter af:
v_x = v cos α  en s_x = 111 = v_x t
Als je t invult (met die sin α er nog in) dan krijg je een formule met een sinus en een cosinus van α en dus kun je de hoek α bepalen (dan moet je nog herinneren dat 1/2 sin 2α = sin α cos α )

Dag jonas,

Nee, je oplossing is niet geheel correct. Het gaat mis onder de tweede asterisk.
Vanaf "Verticale worp ⇒ top → v=0" reken je v₀'=g·t=10·3,8=38 m/s.
Deze waarde betreft feitelijk de verticale component v_0y' (38 m/s) uit je figuur en niet de schuine beginsnelheid v₀'. De berekening van v_0y'=35,0 m/s links onder is daarom foutief (en overbodig).
De gevraagde hoek volgt uit tan(α)=v_0y'/v_0x'=38/14,6 en bedraagt 69º.
Een opmerking over de begrijpelijkheid. Bij de eerste asterisk noteer je y=y₀+v_0y·t–½·g·t² en v_0y=0 en y₀=h en y=0. Dat is correct voor de tweede helft van de beweging, van de top tot de grond. Als je vermeldt 'van top tot grond', begrijpt de lezer gemakkelijker wat je doet.

Je inzending heeft de kop "kinematica raketje". Daarom ligt een berekening (deels) met behoud van mechanische energie minder voor de hand. Het kan wel, maar we moeten oppassen voor het misverstand dat de snelheid v boven in de baan nul zou zijn. De raket beweegt daar wel horizontaal, maar we weten nog niet hoe snel. Hierdoor kunnen we de snelheid v schuin omhoog bij de lancering niet met louter en alleen energiebehoud berekenen.

Een berekening met energie en kinematica kan als volgt.
Behoud van mechanische energie wil dat E_k,0=E_k,top+E_z,top
Vermenigvuldigen we ½·m·v₀²=½·m·v_top²+m·g·h met 2/m, dan volgt
v₀²=v_top²+2·g·h=v₀²·cos²(α)+2·g·h → v₀²·[1–cos²(α)]=2·g·h →
v₀²·sin²(α)=2·g·h   (#1)
De schuine beginsnelheid v₀ heeft een horizontale component
v₀·cos(α)=x/(2·t)   (#2)
met x=111 m is de hele horizontale afstand en t betreft de halve beweging.
De beginsnelheid v₀ heeft een verticale component
v₀·sin(α)=g·t   (#3)
De vergelijkingen (#1) en (#2) en (#3) zijn een stelsel met drie onbekenden α, v₀ en t dat analytisch oplosbaar is. Als we (#2) met (#3) en met 2·sin(α) vermenigvuldigen, vinden we
2·v₀·sin²(α)·cos(α)=g·x·sin(α)
Hierin substitueren we (#1), zodat 2·2·g·h·cos(α)=g·x·sin(α)
waaruit volgt tan(α)=sin(α)/cos(α)=4·h/x=4·72,3/111 en α=69º.

Groet, Jaap

Een nog wat eenvoudiger aanpak:

een object dat verticaal naar beneden valt van een hoogte van 72,3 m doet daar (s=½gt²) 3,839 s over. 
Het raakt daarbij de grond met een snelheid van (v=gt) 37,66 m/s
Andersom, stijgend vertrekt het dus verticaal met die snelheid om die tijd later het hoogste punt te bereiken.

Stijgen en vallen samen duurt dus 2t = 7,679 s.

die tijd is beschikbaar om horizontaal 111 m verder te komen.
horizontale snelheid dus (v=s/t) 14,455 m/s
de lanceerhoek was dus bgtan(37,66 / 14,455) = 69^o

Groet, Jan