Vanuit je eigen verwijzing:

Gelukkig bestaat er zo'n transformatie. Deze transformatie staat bekend als een hyperbolische rotatie. De formules voor een hyperbolische rotatie van een assenstelsel (x,y) zijn:

x' = cosh(ω)x - sinh(ω)y
y' = - sinh(ω)x + cosh(ω)y

waarbij - ∞ < ω < + ∞. Voor de x'-as vul je in y'=0 en voor de y' as geldt x'=0.

De cosinus hyperbolicus ("cosh") en sinus hyperbolicus ("sinh") zijn gedefiniëerd als:

cosh(x) = ½(e^x + e^-x)    (voor x hier schrijf je dan ω - de ene x is de andere niet in verschillende vergelijkingen)

sinh(x) = ½(e^x - e^-x)

waarbij e een wiskundige constante is, die bij benadering gelijk is aan 2,718281828459.

Dit is toch niet wat ik bedoel. Stel ik heb een punt in het x,y-assenstelsel, bijvoorbeeld het punt (3,5). Nu zoek ik naar de x'-as als een rechte lijn in het x,y-assenstelsel en naar de y'-as als een rechte lijn in het x,y-assenstelsel. Ik vermoed dat x' = (b/a) x en
y' = (d/c) x. De x' coordinaat van het punt (3,5) in het x,y-assenstelsel kun je dan krijgen door het snijpunt te zoeken van de lijn z met de lijn x', waarbij z loopt door het punt (3,5) en parallel is aan de lijn y'. De lijn z heeft dus dezelfde richtingscoefficent als de richtingscoefficent van y'. Op dezelfde manier kun je de y'-coordinaat vinden.

De beide assen moeten symmetrisch gespiegeld zijn rondom de x=y lijn omdat deze lijn de samenvallende assen weergeeft voor een stelsel dat met lichtsnelheid beweegt (en waarin een lichtdeeltje stilstaat - niet haalbaar voor materiedeeltjes, alleen voor lichtdeeltjes).

In relativiteit is het gebruikelijk de y-as in eenheden ct (daarmee een ruimte-afstand geworden) weer te geven en w-as te noemen. De x-as is de gebruikelijke ruimte-as in de bewegingsrichting, maar de snelheid v wordt ook in eenheden lichtsnelheid (0 tot 1)  v/c weergegeven. Daarmee wordt het x,w stelsel een simpel stelsel met de w=x lichtlijn (diagonaal) onder 45º omdat de x en w eenheden gelijk groot zijn (in t seconden is w = ct "ruimtetijd" verstreken en een afstand x = vt = (v/c) .ct afgelegd door een lichtdeeltje). Voor v/c wordt veel de letter β gebruikt en zal altijd 0 ≤ β < 1

De x' as is een verzameling in x'w' stilstaande punten met w'=0 die door het "stilstaande" stelsel bewegen in w,x stelseltermen:
w = β x
Onderstaande figuur geeft dit voor een v = 1/2 c (dus β=1/2) weer.

Voor de w'-as geldt dat die de verzameling is van alle punten x'=0 . Maar die punten bewegen met snelheid v door het stilstaande stelsel.
Daar is de tangens van de hoek tussen w-as en w' as ("de helling") ook β.  Maar in het y,x = w,x stelsel is die helling gelijk aan de tangens van de hoek met de x-as:
tan (90º - tan^-1 β) zodat de w' as wordt weergegeven door

w = tan (90º - tan^-1 β) x

(Voor een stelsel met snelheid v=c vallen de x en w as samen: lichtdeeltjes bewegen niet in dit stelsel en de tijd verandert ook niet. De beide assen vallen samen in de diagonaal w=x (want tijd ct is gelijk aan de afgelegde weg x=ct). Omdat licht altijd afstand/ruimtetijd = ct/ct = 1 moet opleveren in elk referentiestelsel, zijn de x en w assen van elk stelsel altijd gespiegeld tov de lichtlijn diagonaal).

Bovenstaande figuur van een bewegend stelsel uitgedrukt in een "stilstaand" stelsel levert bij omdraaien van de situatie (het stilstaande stelsel beweegt nu met snelheid -v tov het andere stelsel) een wellicht niet intuitief verwacht resultaat op.

Laten we eens uitgaan van het gegeven dat x' = ax+by en y' = cx+dy.
Uit deze vergelijkingen volgt dat
en
Er geldt dus dat cx'-bcy = ay'-ady en dx'-adx = by'-bcx. We krijgen zo het stelsel
cx'-ay' = (bc-ad)y
dx'-by' = (ad-bc)x
Door de eerste vergelijking met b en de tweede vergelijking met a te vermenigvuldigen krijgen we het gelijkwaardige stelsel
bcx'-aby' = b(bc-ad)y
adx'-aby' = a(ad-bc)x
Aftrekken van de onderste vergeljking levert: (bc-ad)x' = b(bc-ad)y-a(ad-bc)x, dus
Om y' te vinden gaan we ook weer uit van het stelsel
cx'-ay' = (bc-ad)y
dx'-by' = (ad-bc)x
Door de eerste vergelijking met d en de tweede vergelijking met c te vermenigvuldigen krijgen we het gelijkwaardige stelsel
cdx'-ady' = d(bc-ad)y
cdx'-bcy' = c(ad-bc)x
Aftrekken van de onderste vergeljking levert: (bc-ad)y' = d(bc-ad)y-c(ad-bc)x, dus
Omdat bc-ad niet nul mag zijn mag a:b dus nooit gelijk zijn aan c:d, dus de uitdrukkingen die je voor x' en y' vindt zijn gecompliceerder dan jij dacht. Ze dienen in ieder gevval zowel de x- als de y-coördinaat te bevatten.

Beste Arno, stel in het x,y-vlak ligt een punt zeg (3,5). Dat punt ligt dus in een twee-dimensionale ruimte, namelijk het x,y-vlak. In de transformatie

x'= a x + b y en y' - c x + d y

zijn x' en y' twee rechte lijnen in een drie dimensionale ruimte. x' en y' vormen op zich weer een vlak, maar het punt (3,5) in het x,y-vlak zal gewoonljk niet in het x',y' vlak liggen. Hoe kun je dan toch de x',y' coordinaten bepalen van een punt dat niet in het x',y'-vlak ligt? Je kunt er natuurlijk wel voor zorgen, dat x' en y' in het x,y vlak liggen maar dan moet je bepaalde voorwaarden stellen aan a, b, c en d.

x' en y' zijn combinaties van x en y. Deze laatsten liggen in een vlak. De x' en y' liggen dan in hetzelfde vlak (want noch in x noch in y zit een 3e dimensie z component)

Beste Arno, nog even n.a.v. mijn vorige reactie. Het is dus duidelijk, dat met de transformatie x'= a x + b y en y' - c x + d y ook de positie van het punt zelf getransformeerd wordt. Ik denk, dat, als je wilt, dat de positie van het punt niet verandert, je de transformatie x'= a x + (1/a) y en y' = c x + (1/c) y moet gebruiken. 

Beste Theo, ik begrijp je laatste reactie niet. Immers i.p.v. 

x'= a x + b y en y' = c x + d y

kun je ook schrijven

u = a x + b y en v = c x + d y

en u en v zijn dan twee rechte lijnen in de x,y,z-ruimte. 

Beste Theo,

Ik realizeer me plotseling dat 

u = a x + b y en v = c x + d y

ieder een recht vlak voorstellen in een drie dimensionale ruimte en dat de doorsnede van de twee vlakken weer een rechte lijn is (zie bijgevoegde figuur met a=3, b=5, c=7 en d=2), maar nu begrijp ik er helemaal niets meer van.

Beste Arno, ik schreef eerder:

Stel in het x,y-vlak ligt een punt zeg (3,5). Dat punt ligt dus in een twee-dimensionale ruimte, namelijk het x,y-vlak. In de transformatie

x'= a x + b y en y' - c x + d y

zijn x' en y' twee rechte lijnen in een drie dimensionale ruimte. 

Maar dat is bij nader inzien fout. Immers x' en y' vormen ieder een vlak in een drie-dimensionale ruimte en de doorsnede van de twee vlakken vormt een rechte lijn. Maar nu begrijp ik er zelf eigenlijk helemaal niets meer van. 

Beste Theo en Arno,

Zoals ik al eerder zei, zijn in de transformaties

x'= a x + b y en y' = c x + d y

x' en y' twee rechte vlakken in een drie dimensionale ruimte en voor de doorsnede van deze twee vlakken geldt: x' = y' of te wel a x + b y = c x + d y. Oplossing geeft:

y = -x(a-c)/(b-d)

maar dat is weer een rechte lijn in het x,y-vlak.

Beste Theo en Arno,

Ik schreef eerder het volgende (cursief).

Zoals ik al eerder zei, zijn in de transformaties

x'= a x + b y en y' = c x + d y

x' en y' twee rechte vlakken in een drie dimensionale ruimte en voor de doorsnede van deze twee vlakken geldt: x' = y' of te wel a x + b y = c x + d y. Oplossing geeft:

y = -x(a-c)/(b-d)

maar dat is weer een rechte lijn in het x,y-vlak.

Als je nu neemt:

a = cosh(omega)

b = -sinh(omega)

c = -sinh(omega)

d = cosh(omega)

de hyperbolische rotatie zoals gebruikt door Einstein en vervolgens hiermee a, b, c en d substitueert in

y = -x(a-c)/(b-d)

dan krijg je tenslotte y = x.

Overigens krijg je de lijn y = x ook als je neemt a = d en b = c.

>Beste Theo, ik begrijp je laatste reactie niet.
Daarin heb je gelijk en redeneerde ik te snel (vanuit y = f(x) ipv y' = f(x,y)) Voor elke combinatie (x,y) komt er een waarde uit die dan langs de z-as wordt weergegeven zodat alle y' waarden tezamen een vlak vormen (al dan niet vlak-recht of gekromd, maar in dit geval vlak-recht)

Om terug te komen op de oorspronkelijke vraag:
Hoe kun je nu de x'-as en de y'-as berekenen in het x,y-assenstelsel?

De formules voor een hyperbolische rotatie van een assenstelsel (x,y) zijn:

x' = cosh(ω)x - sinh(ω)y
y' = - sinh(ω)x + cosh(ω)y

waarbij - ∞ < ω < + ∞.
Voor de x'-as vul je in y'=0 en voor de y' as geldt x'=0.

Ik zit te weinig in relativiteitstheorie om alle aspecten hier uit te kunnen diepen - die kennis ontbreekt me.