Het wel of niet tunnelen heeft alles te maken met de kans dat dit gebeurt binnen de Heisenberg onzekerheidsrelatie.

"Klassiek" heeft een alfadeeltje te weinig energie om buiten de kern te komen omdat diens potentiaalberg (of put, hangt er vanaf hoe je er tegenaankijkt en waar je het nulpunt legt) te hoog is.
Toch lukt het sommige deeltjes met te weinig energie buiten de put/over de berg te komen, omdat ze "tijdelijk" het te weinig aan energie erbij kunnen lenen, zolang maar dit gebeurt binnen  ΔEΔt < h/(4π) 
De onzekerheidsrelatie gaat uit van > en dus kan daarbinnen (<) niets gezegd worden - zo worden ook virtuele deeltjes gecreëerd in de Feynman diagrammen die "bijtijds" binnen Δt weer annihileren.

Hoe groter de te lenen energie ΔE, des te kleiner is de tijd Δt waarin dat kan. Bij een oneindig diepe put/hoge berg komt het deeltje er niet uit: Δt → 0 s.
Aan het einde van de onzekerheidstijd heeft het deeltje weer zijn "echte" energie E die kleiner is dan de potentiaalberg.
Nietemin kan het er in minder dan Δt tijd "doorheentunnelen" als de wand niet te dik is en de waarschijnlijkheidsfunctie als e-macht niet effectief 0 wordt bij het stuk in de wand (segment B in onderstaand plaatje).

De kans het deeltje in de kern aan te treffen wordt door de golffunctie in A weergegeven, daarbuiten als golffunctie in C. Daartussenin (B) neemt de amplitude met een e-macht af.

>Klopt mijn vermoeden dat het fysisch onzinnig is de kans op tunneling tijdonafhankelijk te specificeren en die te baseren op een oplossing van de tijdsonafhankelijke Schrodinger vergelijking?

Met enig voorbehoud (ik snap je stelling niet helemaal) kun je dus met een tijdsonafhankelijke Schödingervergelijking aangeven welke waarschijnlijkheid een deeltje binnen en buiten de barriere heeft. De grootte van de kans buiten is aanzienlijk kleiner (kleinere amplitude van ψ²) en hangt af van in hoeverre de oorspronkelijke amplitude als e-macht afneemt binnen de wand waar doorheen getunneld wordt.

Ik probeer uit te leggen waar mijn gevoel vandaan komt.

Het plaatje is de oplossing van een tijd-onafhankelijke golfvergelijking die een stationaire toestand beschrijft. Ik zie niet hoe dat een dynamisch proces als tunneling zou kunnen beschrijven, anders dan de uitspraak dat tunnelen mogelijk is omdat de golffunctie deels buiten de barrière komt.

Voorbeeld: Als ik je vraag wat de kans op verval van een actieve kern is, dan zeg je  dat het afhangt van de verhouding van tijdsduur en halveringstijd. "De kans op verval" zonder verdere specificatie is fysisch onzinnig (nouja, je zou kunnen zeggen dat die kans 1 is want het gebeurt een keer maar dan is het op z'n best triviaal).

Die kans op verval is voor een alfa-actieve kern precies hetzelfde als de kans op tunneling van een alfa deeltje uit de kern omdat het verval quantummechanisch wordt beschreven door tunneling. Een tijdonafhankelijke S-vergelijking kan natuurlijk de halveringstijd niet voorspellen en dus ook niet de kans op tunneling binnen een gegeven tijdsinterval.

>Die kans op verval is voor een alfa-actieve kern precies hetzelfde als de kans op tunneling van een alfa deeltje uit de kern omdat het verval quantummechanisch wordt beschreven door tunneling.

Klopt

> Een tijdonafhankelijke S-vergelijking kan natuurlijk de halveringstijd niet voorspellen en dus ook niet de kans op tunneling binnen een gegeven tijdsinterval.

Jawel, want het is een statistisch proces. Er is een KANS dat er getunneld wordt. Die kans komt overeen met de (veranderende) amplitude van de (stationaire) Schödingervergelijking. Je kunt niet zeggen dat een alfa deeltje over X seconden zal ontsnappen. Hooguit dat van N deeltjes er eentje over X seconden zal ontsnappen. Welke is niet bekend totdat hij buiten de kern wordt aangetroffen.

Je denkwijze als zou een tijds-afhankelijke vergelijking nodig zijn zou ook impliceren dat je het deeltje op de bodem van een put op tijdstip T1 hier en op T2 daar zou moeten aantreffen. Dat is niet zo. Er is een KANS het "hier" en een KANS het "daar" aan te treffen.  Kansen zijn niet tijds-afhankelijk.

Zoals je misschien gemerkt hebt is mijn qm een beetje roestig dus ik heb er maar eens een goed boek bij gepakt. 

David J Griffiths, introduction to quantum mechanics

Op blz. 38: "What is so great about separable solutions"
Separation of variables is de golfvergelijking splitsen in een tijd afhankelijk deel (fase factor) en een tijd onafhankelijk deel. Over de tijdonafhankelijke oplossing zegt hij:

"they are stationary states [...] indeed it is common to refer to psy as 'the wavefunction' but this is sloppy language, that can be dangerous and it is important to remember that the true wavefunction allways carries that exponential time dependent factor"  (AvU:  de fasefactor exp(iEt/hbar)) "In particular <x> is constant and hence <p> is zero. Nothing ever happens in a stationary state"

(<..> staat voor de average of expected value)

De conclusie die ik hieruit trek is: meenemen van tijd-afhankelijkheid is altijd noodzakelijk als je de kans op een event (zoals tunnelen) wilt bepalen en als je dat niet doet is het onzin.

>Nothing ever happens in a stationary state
Da's maar net wat je onder "stationair" verstaat. Een stationair draaiende motor is ook niet spannend, maar er gebeurt (op kleinere schaal) wel van alles wat in tijd echter uitmiddelt tot "niks". Dat is met een stationaire toestand ook zo.

>"In particular <x> is constant and hence <p> is zero.
Lijkt me stug. Er is een onzekerheid Δx en Δp, geen van welke 0 is.
impuls = p ± 1/2Δp
positie = x ± 1/2Δx

En dan kunnen x = 0 m en p = 0 kgm/s zijn maar daarmee is niets "definitief" nul.

Maar met roestige quantum mechanica kennis (en de mijne is ook niet tot de zesde integraal uptodate) komen we zo niet verder. Het alfa-verval proces is in grote lijnen zoals de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking aangeeft. In detail zal er ongetwijfeld nog van alles erbij komen - daarop ben ik niet "ingelezen".

Dat is het niet want het begrip is in de context van de golffunctie haarscherp gedefinieerd. De oplossing van de time independent Schrodinger equation verandert niet in de tijd. Dat is wiskundig afgedwongen door separatie van de tijd en plaatsvariabele. 

Fysisch is het ook logisch: als er iets gebeurt, verandert de golffunctie wel (quantum collapse).

Gemiddeld nul betekent niet dat elke waarneming nul oplevert en dus ook niet dat de spreiding nul is. Constant gemiddelde betekent niet dat elke waarneming hetzelfde oplevert en dus ook niet dat de spreiding nul is.

Daarom heb ik er een goed boek bijgepakt. Dat doe je in zo'n geval.

Volgens mijn bron niet en dat is het quantumboek dat wordt gebruikt op de Na opleiding van de TU Delft. Ken je een betrouwbare bron die dit beweert? Ik moet je zeggen dat ik het vreemd vind dat deze stelling door middelbare school boeken lijkt te worden ondersteund maar dat was ook de oorsprong van mijn vraag in het begin. Het is dubieus of middelbare schoolboeken (tegenwoordig nog) als betrouwbare bron kunnen worden beschouwd. Soms worden begrippen zo platgeslagen dat de waarheid geweld wordt aangedaan.

>Ken je een betrouwbare bron die dit beweert? 
Geen van de quantum mechanica boeken die ik ken/nasloeg beweren iets anders dan tijd-onafhankelijk. Een paar ervan:
Matthews - Introduction to Quantum Mechanics (Ch 9)
Ray - Quantum Physics (Ch 2)
Zettili - Quantum Mechanics - Concepts and Applications (Ch 4.5)

>Het is dubieus of middelbare schoolboeken (tegenwoordig nog) als betrouwbare bron kunnen worden beschouwd
Ja en nee. Het hangt af van wat de doelstellingen zijn die je wilt bereiken:
- een globaal inzicht geven (waarbij de nitty-gritty werkelijkheid wordt versimpeld)
- detail info

Schoolboeken laten leerlingen kennis nemen van iets. Daarbij worden elektronenbanen rond atomen ook anders voorgesteld dan wat de quantum-wolken beweren. Wat overigens ook maar een theorie is. En "platslaan": dat kan. Bij "populaire" beschouwingen worden sommige detailzaken als irrelevant opgevat om het overzicht niet te verliezen.

En verder denk ik dat je bij de High Wizards van Quantum Mechanica te raden moet gaan om universitaire discussies in detail te bediscussieren. Dat gaat over het hoofd van de doelgroep van deze website heen - alsook van de "generalisten" die de vraagbaak beantwoorden.

Ik ben inmiddels verder, nu heb ik het scherp genoeg denk ik. Ik deel graag mijn bevindingen en ik bedank je hartelijk voor het meedenken evenals de mensen van Stevin die ook info verschaften.

De formule uit het begin volgt uit de WKB-benadering (dat is wat wiskunde), die door Gamow (nog meerwiskunde) is toegepast op tunneling. Die kans (P) stelt de transmissiecoëfficiënt voor van de deeltjesgolf die op de barrière botst.

Voor de kans op tunneling in een seconde moet je daarnaast een schatting maken van hoe vaak zo'n alfadeeltje (effectief) per tijdseenheid op de barrière botst (f) - dit is de systeem dynamica die ik even miste. Als de vervalkans in een tijdseenheid klein is, is de kans op tunneling dan ongeveer fP.   Een ballpark estimation van de halveringstijd van U238 die ik in een artikeltje tegenkwam zat er een factor 1E5 naast. Niet erg indrukwekend maar wel begrijpelijk want het model bevat nogal wat aannamen en vereenvoudigingen.  Ook het feit dat zo'n kern veel neutronen en protonen bevat - wat is "het" alfadeeltje nou eigenlijk? - wordt maar even genegeerd.

De interpretatie van psi-kwadraat als kansverdeling werkt hier niet. Dat blijkt ook al uit het feit dat de getekende golffunctie niet normaliseerbaar is.

Wat platslaan betreft citeer ik graag: 
Everything should be made as simple as possible, but not simpler.
(Einstein)