zo te zien begint dat al bij de helling waarin een ongedefinieerde b variabele zit

Dag Lars,
a. Een probleem kan ontstaan met de modelregels
helling=b*(s^(b-1))
Fzx=Cos(helling^-1)*Fz
Als Coach vooraf geen waarde van s heeft gekregen (bij voorbeeld in de startwaarden, die niet zichtbaar zijn in je post), neemt Coach aan s=0. Dan wordt helling=b*(s^(b-1))=b*(0^(b-1))=0 zodat Fzx=Cos(helling^-1)*Fz=Cos(0^-1) een foutmelding geeft: 0^-1 betekent 1/0 en 'delen door nul is flauwekul'. Het probleem is niet Cos() maar helling^-1
Uitzondering: als Coach geen waarde heeft gekregen van s maar wel b=1, wordt helling=b*(s^(b-1))=1*(0^0) en daar maakt Coach 1 van. Dan volgt er geen foutmelding.
b. Je modelregel a=Fres/m geeft een foutmelding indien Coach vooraf geen waarde van m heeft gekregen. Coach neemt dan aan m=0 zodat a=Fres/0.
c. Het hoeft geen probleem te zijn als je een bepaalde grootheid (s, b, m, ...) vooraf geen waarde geeft, niet definieert. Je krijgt een foutmelding als je Coach laat delen door nul, de wortel uit een negatief getal laat trekken en dergelijke. Die foutmelding kan ook ontstaan als alle grootheden wel gedefinieerd zijn, een waarde hebben gekregen.
d. Afgezien van foutmeldingen: het is niet duidelijk wat je bedoelt met helling=b*(s^(b-1)) en Fzx=Cos(helling^-1)*Fz
Cos(helling^-1) moet de cosinus van een hoek zijn, zodat hoek=1/helling?
De s is kennelijk de positie of afgelegde afstand gemeten langs de helling y=1/wortel(x).
Maar wat is b? Hoe levert helling=b*(s^(b-1)) dan 1/hoek op?
e. Mogelijk verwarrend: de baan y=1/wortel(x) is vermoedelijk in een rechthoekig assenstelsel maar Fzx is langs de gekromde baan en Fzy is loodrecht op de baan?

Dit gaat over Lars' model voor een auto zonder motor die vanuit rust beweegt over een gebogen baan en die rolweerstand en luchtwrijving ondervindt. Dit gaat niet over de foutmelding (zie boven) van Coach.

a. Lars noteert helling=b*(s^(b-1)). Wat betreft de vorm doet dit aan de wiskundige afgeleide van een functie s^b, gedifferentieerd naar s. Anders geschreven: helling=b⋅s^b-1. Omdat de dwarsdoorsnede van de baan in het verticale vlak gegeven is als y=1/√x, lijkt het een goed idee om de afgeleide te bepalen: dat is de steilheid van de baan, ofte wel de richtingscoëfficiënt, ofte wel tan(α) met α is de hoek tussen de baan en de horizontaal, op de plaats van de auto. Met die hoek α kunnen we vervolgens de componenten van de zwaartekracht berekenen evenwijdig aan de baan of loodrecht erop. Maar dan verwachten we

In de rest van Lars' model ontstaat de indruk dat s de afgelegde afstand langs de gebogen baan is, want zijn F_res is evenwijdig aan de baan ter plaatse. Hoe hij komt tot b*(s^(b-1)) en wat b voorstelt, is helaas niet duidelijk.

b. Lars noteert voor de normaalkracht van de baan op de auto Fn=Fzy en hier betekent y vermoedelijk loodrecht op de baan (niet verticaal). Terecht noemt Lars de normaalkracht, want de rolweerstand is ervan afhankelijk. Bij een rechte (niet gebogen) baan is de normaalkracht inderdaad even groot als de component van de zwaartekracht Fzy loodrecht op de baan. Maar op deze holle baan is extra normaalkracht nodig om de beweging van richting te doen veranderen. De extra normaalkracht zit niet in het model, zodat de rolweerstand een te kleine waarde krijgt. Dat beïnvloedt de beweging van de auto.

c. Het model berekent de snelheid en de afgelegde afstand langs de baan als functie van de tijd. Misschien wordt er niet meer verlangd. Het kan aardig zijn om ook de plaats in de horizontale en verticale richting te berekenen. Daarmee kan Coach de beweging in een zij-aanzicht laten zien.

Dit gaat over een model waarmee Coach de beweging van de auto over de gebogen baan in de loop van de tijd kan laten zien. Dit gaat niet over het model zoals genoteerd door Lars of over de foutmelding van Coach.

Op de rijdende auto werken vier krachten: de zwaartekracht F_z, de normaalkracht F_n van de baan, de rolweerstandskracht F_wrol=F_wr en de luchtwrijvingskracht F_wlucht=F_wl. Zie de figuur hieronder.

F_wrol en F_wlucht werken langs de RAAKlijn aan de baan op de plaats van de auto. Daarom is het aantrekkelijk om de grootte van de rijsnelheid v te modelleren met de component van F_zraak=F_z1 langs de baan en F_wrol en F_wlucht.
Om de langs-component F_zraak te vinden, gebruiken we hellingshoek α van de baan ter plaatse, berekend met de afgeleide van y naar x.
F_n heeft geen directe invloed op de grootte van de snelheid, maar wel indirect via F_wrol. De benodigde normaalkracht is in de eerste plaats de component F_zlood=F_z2 in de richting LOODrecht op de baan, eveneens berekend met hoek α. Extra normaalkracht is nodig om de bewegingsrichting van de auto te veranderen. Dit 'extra' is een middelpuntzoekende kracht F_mpz=m⋅v²/ρ waarbij ρ de zogenoemde kromtestraal is, die aangeeft hoe sterk de baan ter plaatse gekromd is. Zodoende is de normaalkracht F_n=F_zlood+F_mpz (alle drie positief gerekend) en kunnen we F_wrol berekenen.
Nu alle kracht(component)en langs de raaklijn bekend zijn, kunnen we Fres langs de raaklijn berekenen en op de gebruikelijke manier de grootte van de snelheid v en de afgelegde afstand s. De nieuwe positie in de horizontale x-richting en de verticale y-richting volgen uit de verplaatsing ds en α. Zie de onderstaande figuur: het modelvenster van een Coach-model in tekstmodus.
Met de getoonde startwaarden komt de auto na 16,9m tot stilstand.



In de bijlage auto-uitleg.pdf staat uitleg over het model in detail.

De volgende post bevat een model in Coach 6 waarmee bovenstaande figuur is gemaakt.

De onderstaande bijlage is een tekstmodel van Coach 6
dat de beweging van de auto beschrijft.
Het model kan ook worden geopend met Coach 7.