krachtmoment, impulsmoment, ...

Anne stelde deze vraag op 01 november 2005 om 20:08.
Ik weet helemaal niet hoe ik het volgende vraagstuk moet bereken: De plaatsvector van een deeltje met massa m=5kg is gegeven door r=(3t²-6t)ex + (-4t^3) ey + (3t+2)ez Bereken: (a) de kracht van het deeltje (b)het krachtmoment tov oorsprong (c)de impuls en het impulsmoment tov de oorsprong Hoe moet ik met het gegevene omgaan? Alvast bedankt voor de hulp!

Reacties

Jaap op 05 november 2005 om 14:50

Dag Anne,

Het onderstaande is vectorieel bedoeld, maar niet met vectornotatie getypt. De drie componenten worden steeds in grootte gegeven en de bijbehorende richting is die van de eenheidsvectors (lengte 1) die langs de X-as (ex), Y-as (ey) of Z-as (ez) wijzen.

1) Kracht

v=dr/dt=(6t-6)*ex-12t²*ey+3*ez
a=dv/dt=6*ex-24t*ey

F=m*a=5*(6*ex-24t*ey)=30*ex-120t*ey

2) Impuls

p=m*v=m*[(6t-6)*ex-12t²*ey+3*ez]=(30t-30)*ex-60t²*ey+15*ez

3) Impulsmoment (of draaiimpuls of hoekimpuls) L

Een impulsmoment beschrijft de rotatie van een voorwerp om een punt (of as) a.g.v. een impuls (een beweging in richting van de snelheid v)  die het voorwerp heeft.

Het impulsmoment is altijd ten opzichte van een bepaald punt en dan moet je de loodrechte afstand van de impulsvector tot dat punt nemen.
L = p.rloodrecht . Dit wordt in 3-dimensionale vectors meestal als een zogenaamd uitwendig vectorproduct geschreven: L = r x p  (ik kan geen pijltjes boven de letters zetten, dus dan maar dikgedrukt). Het voert te ver hier om een uitwendig vectorproduct uit te leggen (zie elk boek over vectorrekening), maar de drie componenten van L (Lx, Ly, Lz) kun je berekenen door

Lx=y*pz-z*py=m*[(-4t3)(3)-(3t+2)(-12t²)]=m*(24t3+24t²)=120t3+120t²

Ly=x*pz-z*px=m*[(3t²-6t)(3)-(3t+2)(6t-6)]=m*(-9t²-12t+12)=-45t²-60t+60

Lz=x*py-y*px=m*[(3t²-6t)(-12t²)-(-4t3)(6t-6)]=m*(-12t4+48t3)=-60t4+240t3

zodat de hele vector L geschreven kan worden in componenten evenwijdig aan de eenheidsvectoren langs X, Y en Z richting  (ex, ey, ez):

L=(120t3+120t²)*ex+(-45t²-60t+60)*ey+(-60t4+240t3)*ez

4) Krachtmoment M

Krachtmoment is soortgelijk aan impulsmoment.  Zoals een kracht de verandering van de impuls is, F = dp/dt , zo is een krachtmoment de verandering van het impulsmoment: M = dL/dt

Het krachtmoment ten opzicht van de oorsprong

M=dL/dt=d[(120t3+120t²)*ex+(-45t²-60t+60)*ey+(-60t4+240t3)*ez]/dt

= (360t²+240t)*ex+(-90t-60)*ey+(-240t3+720t²)*ez

Dit resultaat volgt ook uit M = r x F. Mee eens?

(oorspronkelijke tekst geformateerd/aangevuld - TdK)

 

Anne op 15 november 2005 om 16:39
Bedankt voor de uitwerkingen.Wat ik enkel nog niet zo goed snap is het impulsmoment (en dus het krachtmoment ook niet) Hoe komt u preceis aan Lx=y*pz-z*py ? ht heeft iets met de drie dimensies te maken maar...Kan u het verder verduidelijke aub?Bedankt!
Sophie op 11 november 2011 om 17:15

Kunt u misschien uitleggen hoe u aan Lx= y*Pz-z*Py enzo komt? Alvast bedankt!

Theo op 11 november 2011 om 18:43

Dag Sophie,

Als je op de middelbare school zit dan zou ik me hier (met deze uitleg) niet al teveel zorgen maken en elders je informatie over kracht en kracht moment zoeken.

Bij vervolgstudies wordt het wel belangrijk. Dan beweegt een deeltje niet meer in een vlak (zoals XY vlak) of langs een rechte lijn (in de X-richting) maar door de ruimte. En die heeft drie dimensies. Je kunt elke positie van een voorwerp dan aangeven door drie coordinaten: zijn positie langs de X-as, de Y-as en de Z-as (hoogte).  De oorsprong is dan (x,y,z) = (0,0,0) en een punt (1,2,3) vind je met x=1, y=2 en z=3 als coordinaten.

De genoemde ex ey en ez zijn de eenheidsvectoren (ook wel eens i, j en k genoemd in de literatuur). De ex is bijvoorbeeld 1 eenheid lang en wijst langs de X-as. Zijn pijlpunt zit in (1,0,0).  Zo is ey de vector met lengte 1 die langs de Y-as wijst en met pijlpunt in (0,1,0). En de ez heeft zijn pijlpunt op (0,0,1).

Zoals je langs een rechte lijn (zoals langs de X-as) de snelheid kunt berekenen door v = Δx/Δt, kun je voor een punt in de ruimte op positie r (= een punt met waarden voor (x,y,z) ) dit ook, door de verandering per richting te bekijken:
vx = Δrx/Δt   en vy = Δry/Δt   en vz = Δrz/Δt  waarbij rx de waarde is van de x-coordinaat van de positie van het voorwerp. En dus Δrx de verandering van die x-coordinaat doordat het voorwerp ondermeer in de X-as richting beweegt.

Ga je een stap verder dan kun je zo ook de versnelling uitrekenen: a = Δv/Δt  en voor 3 aparte dimensies/richtingen kun je het per richting doen: ax = Δvx/Δt  enz.  Maar Δvx kennen we al: Δvx = Δ(Δrx/Δt) en daarmee is ax = Δ(Δrx/Δt)/Δt

Voor de wat gevorderden zeggen we dan dat de versnelling de 2e afgeleide naar de tijd is van de positie:  a = d2r/dt2

F = m.a  en ook de kracht F kan in een echte situatie alle kanten opwijzen maar is daarbij altijd in 3 componenten te ontbinden, die langs de X, Y en Z-as wijzen: F = (Fx, Fy, Fz) = (max,may,maz)

De oorspronkelijke vraag gaf aan dat de positie in 3 dimensies gegeven was door r=(3t²-6t)ex + (-4t3) ey + (3t+2)e .

Dat wil zeggen dat

x(t) = 3t2 - 6t
y(t) = -4t3
z(t) = 3t + 2

Voor t = 0 bevindt het voorwerp zich dan op (0,0,+2)  (vul de formules maar in en substitueer t=0). Voor t=1 bevindt het zich op positie (-3, -4, +5).

Om de versnelling in de drie richtingen te berekenen moeten we de beweging langs die richtingen 2x differentieren naar de tijd:

dx/dt = 6t - 6   en d2x/dt2 = 6    Dit is de versnelling ax

dy/dt = -12t2  en d2y/dt2 = -24t   Dit is de versnelling ay

dz/dt = 3  en  d2z/dt2 = 0     Dit is de versnelling az

De kracht F in de drie richtingen ontbonden heeft dan componenten

Fx = m.ax  = 5 kg . 6 m/s2 = 30  N

Fy = m.ay = 5 . (-24t) = - 120t  N

Fz = m.az = 5 . 0 = 0 N

De kracht wijzigt in de tijd in de y-richting en is constant langs de x richting. Een kracht betekent een versnelling in de betreffende richting. Doordat er in 2 richtingen een kracht werkt verandert de positie van het voorwerp niet langs een rechte lijn door de ruimte maar langs een kromme lijn a.g.v. de krachtinvloed.

Een beetje zoals een wisselende wind ook steeds een blaadje in steeds andere richtingen duwt.

 

Voor impulsmoment en krachtmoment is het belangrijk van de snelheidsvector v (of versnellingsvector a) alleen die componenten te nemen die loodrecht staan op de verbindingslijn van het voorwerp en de oorsprong. Dan komt het uitwendig product om de hoek kijken en volgen de formules die Jaap al eerder aangaf. Het gaat te ver om dat hier allemaal nog eens uit te leggen - als je met 3 dimensionele mechanica vertrouwd bent dan weet je het en anders moet er eerst een heel boek vectorrekening doorgeworsteld worden. Teveel voor een kort antwoord hier in elk geval. Reden waarom op de middelbare school krachten en impulsen altijd al netjes loodrecht op de arm staan. Dat rekent een stuk makkelijker.

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Noortje heeft dertig appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Noortje nu over?

Antwoord: (vul een getal in)