dag Naomi.

De gewoonste en bekendste logaritme is die met het grondtal 10:

log₁₀(1000) = 3 (andersom, 10³ gelijk is aan 1000)

die 10-log wordt veel gebruikt omdat wij in een tientallig stelsel rekenen. Maar eigenlijk is elk grondtal mogelijk.

Een "natuurlijke logaritme" is een logaritme met het grondtal e 

ln(x)=log_e(x)

De rekenregels blijven precies dezelfde als die je hopelijk kent van de "gewone" logaritmen.


Groet, Jan

Zoals Jan al aangaf is de natuurlijke logaritme de logaritme met het grondtal e, waarbij e ongeveer gelijk is aan 2,71828. Als je de exponentiële functie met het grondtal e bekijkt heeft deze de prettige eigenschap dat de afgeleide van e^x ook e^x is, vandaar dat de exponentiële functie met het grondtal e zo'n belangrijke rol speelt in het wiskundige deelgebied van de analyse, waarbij naast functies, hun afgeleide en hun primitieve, ook rijen, reeksen en limieten een belangrijke rol spelen.
Bij radio-actieve vervalprocessen kom je de exponentiële functie met het grondtal e ook weer tegen. Stel N(t) is het aantal niet vervallen kernen op tijdstip t, dan geldt dat N'(t) = -λN(t). Hierbij wordt λ de desintegratieconstante of vervalconstante genoemd. De vergelijking N'(t) = -λN(t) is een zogenaamde differentiaalvergelijking met oplossing N(t) = N(0)·e^-λ·t.
Om de halveringstijd t_½ te vinden stellen we N(t) = ½N(0), dus dat geeft: e^-λ·t = ½. Dit betekent dat e^λ·t = 2. Nemen we nu links en rechts de natuurlijke logaritme, dan vinden we dat λ·t = ln 2, dus de halveringstijd t_½ wordt dan gegeven door
Mocht je meer willen weten over de natuurlijke logaritmen en het grondtal e, dan moet je maar eens een kijkje nemen op het wiskundeportaal van Wikipedia.

Ik vind het nog steeds een beetje lastig. Ik wilde ook net weer een vraag gaan stellen over die formule, .

Ik vind die e gewoon heel verwarrend, en vind het ook vreemd hoe ze ineens die lambda erbij hebben betrokken.
Ik weet dat het kommaatje tussen N'(t) betekend dat het om een afgeleide functie gaat, maar afgeleid waarvan? En hoe komen ze aan die lambda? 

Verder staat de formule    ook niet in binas, dus ik moet dit natuurlijk wel gaan begrijpen wil ik gebruik maken van deze formule op het examen.

En wat is dan het verschil tussen de formules    en   ?

oh oeps, hij gaf net een vraagtekentje dus ik dacht dat hij de formule niet kon weergeven...

Ik vind trouwens iets in binas: 

N(t) staat volgens mijn lesboek voor het aantal kernen. Terwijl in binas het volgende staat:

Zouden die N en die A dan niet omgedraaid moeten worden?
Misschien zou ik een tip naar Noordhoff kunnen sturen om die A van nucleonen een andere letter te geven, sinds dit ook erg verwarrend is met de A van de activiteit.

Dag Naomi,

er zijn nou eenmaal geen 400 letters in een alfabet, om elke grootheid een andere te geven. Een grote A wordt ook gebruikt voor oppervlakte (Area) , Z voor impedantie.

Die N, A en Z worden gebruikt in teksten over de verhoudingen van deeltjes in een kern. En in die context betekenen ze dàt.

Veel algemener wordt de N (of soms ook kleine n) in formules gebruikt als aantal (Number of...) Uit de context maak je dan op om aantallen waarvàn het gaat.

      : het aantal keren dat het beeld groter is dan het voorwerp

  : In een transformator geldt: aantal primaire windingen gedeeld door aantal secundaitre windingen = primaire spanning gedeeld door secundaire spanning.

enzovoort. 

In jouw formule:
is dat dan aantal radioactieve kernen op tijdstip t = aantal radio-actieve kernen op tijdstip 0 keer (die machtsterm)

Een "tip naar Noordhoff" is zinloos. Dit is geen drukfout, dit is stomweg internationaal zo in gebruik in het vakgebied. Als ze dat in BINAS zouden wijzigen creëren ze alleen maar grote verwarring.

geen, alleen die machtsterm verschilt. De eerste kun je gebruiken als je een vervalconstante kent, voor de ander heb je de halveringstijd nodig.

Een beetje als: hoe reken je een versnelling uit? Tja, als je een F en een m hebt gebruik je a=F/m, als je een dv en een dt hebt gebruik je a=dv/dt. 

Maar als de formules dan praktisch hetzelfde zijn, dan moet er een manier zijn om  om te rekenen tot  toch?
Of is dit echt zo'n gevalletje "Dit moet je gewoon uit je hoofd leren" en dat dit dus niet te achterhalen is via formules.
(Beetje hetzelfde geval als de plaatsfunctie bij een harmonische trillingen. Deze staat niet in binas maar valt wel te achterhalen).

die is er ook. Zie bericht van Arno van Asseldonk (18 maart 2019 om 20:05) hierboven.

Maar ik snap dan nog steeds niet waar die lambda zo ineens vandaan komt.

Kunt u zegmaar zo'n rijtje maken van tussenstappen van   die leidt tot  ?

de vervalconstante λ is gedefinieerd als ln2/t_½

maar zit je je hier niet druk te maken om niks? In de Binas 2013 komt heel die vervalconstante als aparte in activiteitsformules gebruikte grootheid niet meer voor:


wel in de vorm van een factor  ln2/t_½

Wiskundig gezien is de snelheid waarmee het aantal kernen vervalt (N'(t)) evenredig met het aantal kernen N(t), dus λ is eigenlijk niets anders dan een soort evenredigheidsconstante. Als je nog nooit eerder met natuurlijke logaritmen en het getal e hebt gewerkt kan ik me voorstellen dat dit inderdaad nogal verwarrend overkomt. Bedenk dat het altijd mogelijk is om een macht van een gegeven grondtal in een macht van een ander grondtal om te zetten. Stel g^x = e^u, dan geldt dat ln e^u = u, dus ln g^x = x·ln g, dus g^x = e^{x·ln g}.
Stel , dan volgt hieruit dat
Hierbij is dus gebruik gemaakt van het verband tussen t_½ en λ dat ik in mijn post van gisteren aangaf. Het is dus mogelijk om de formule voor N(t) van de ene vorm in de andere om te zetten. Welke formule je gebruikt is afhankelijk van of je met de halveringstijd of de vervalconstante te maken hebt.

Dus de hele vervalconstante is "oude" leerstof en wordt niet meer op examens gevraagd? Geldt dit dan ook voor  ?

Dus als je uitkomt op die , mag je dus de ln(e) weglaten?
Ik snap verder ook niet echt hoe u die u nou in x· ln g heeft laten veranderen, ik denk dat ik een tussenstap over het hoofd zie.

Verder snap ik nu wel de som die daaronder stond en waar de lambda vandaan komt. De lambda heeft dus niet meer dan de definitie .

Dag Naomi,

Zelf geef ik alleen natuurkunde op vmbo, dus defintieve uitspraken daarover durf ik niet te doen. Er is maar één blad dat daarvoor de volledige garantie kan geven: de syllabus VWO:

https://www.examenblad.nl/examen/natuurkunde-vwo-2/2019

ik heb even gespiekt, en ik zie inderdaad niks over . 

Omdat e het grondtal van de natuurlijke logaritme is geldt per definitie dat ln e = 1.
Even terug naar mijn vorige post: als g^x = e^u, dan geldt ook dat ln g^x = ln e^u = u, dus u = ln g^x = x·ln g, waarbij je gebruik maakt van de eigenschap dat ^glog a^x = x·^glog a. Dit betekent dus dat g^x = e^{x·ln g}.

Duidelijk! Dankjewel :)

Graag gedaan.