De "truc" hier is te zien dat de kogelbaan uit twee componenten bestaat die onafhankelijk van elkaar werken.

De eerste is vertikaal. Bij een snelheid van v m/s schuin omhoog is hierbij alleen de v_y = v sin α belangrijk. De beweging y(t) wordt hierbij gegeven door y(t) = 1/2 gt² + v_yt + y₀ als y₀ een eventuele beginhoogte is en g = -9,81 m/s². Hieruit kun je berekenen hoelang het duurt voordat de hoogte y(t) = 0 is, d.w.z. op de grond komt.

Gedurende die tijd maakt de kogel ook een horizontale beweging met snelheid v_x = v cos α.  De beweging x(t) wordt gegeven door x(t) = v_xt + x₀  als x₀ een eventuele begin-afstand is (maar vanuit het kanon geschoten zal dit 0 zijn).

Als je nu de valtijd berekend uit y(t) invult in x(t) weet je hoever de kogel vanaf het kanon komt. Dat is een functie waar de hoek α nog steeds zit.  Voor welke waarde van α is dan x(t) maximaal?

 

Sorry, maar ik snap er echt niks van. Naar mijn weten heb je veel te weinig gegevens. 

Het leger met kanonnen zal het niet met je eens zijn.  Wat heb je allemaal gedaan om dit te beweren?

Martijn, 7 mrt 2013

Sorry, maar ik snap er echt niks van. Naar mijn weten heb je veel te weinig gegevens. 

Dag Martijn,

Je hebt genoeg gegevens. Maar eigenlijk is dit een puur wiskundige exercitie, waarin je gevraagd wordt om de baanlengte a uit te drukken in een functie met een aantal variabelen waaronder die schootshoek, en dan van die functie (alle variabelen behalve de schootshoek constant veronderstellend), een maximum te bepalen.

Weet je trouwens zeker dat de maximale baanlengte (=paraboollengte) als voorwaarde wordt gesteld, en niet de maximale horizontale afstand die de kanonskogel kan bereiken? Want die paraboollengte is een ongebruikelijke vraag, en lijkt me de zaak wiskundig aardig te compliceren.

Groet, Jan

Dag Martijn,
Stel dat de kogel vertrekt vanaf de grond (hoogte nul) met een beginsnelheid v₀ en een schootshoek alfa ten opzichte van de grond.
En stel dat er geen luchtweerstand is.
Dan is de booglengte a van de parabolische baan tot het landingspunt a=v₀²/g*[sin(alfa)+cos²(alfa)*sinh^-1(tan(alfa))]
met g=9,8 m/s² is de valversnelling; sinh^-1 is de boogsinushyperbolicus (de inverse van de sinushyperbolicus);
v₀²/g is de "booglengte" als je de kogel verticaal omhoog schiet (van het kanon tot de top en terug);
De factor tussen rechte haken zegt hoe de booglengte afhangt van de schootshoek alfa.
Deze factor is maximaal 1,2 bij alfa=56,465848 graden.
Voorbeeld: met een beginsnelheid van 100 m/s is de booglengte a maximaal 1224 m.
Je kunt de booglengte berekenen met wiskunde of met een model, bij voorbeeld van Coach.
Groeten,
Jaap Koole

I heb helemaal geen scheikunde gestudeerd of natuurkunde, maar het meest logische bij genoeg kracht en dan bedoel ik in verhouding van het gewicht van de kogel, dan is de konon op 90 graden zetten naar mijn idee het voordeligst. Uitleg is in balans het zelfde als constant. dan betekent dit onafhankelijk welk gewicht je dan ook neemt de kracht van het kanon afneemt of toeneemt gelijk aan het gewicht van de kogel. dan is het alleen nog uitvissen hoeveel graden je het kanon gaat zetten. zet je hem helemaal om hoog, krijg je hem voor je kop, schiet je hem naar beneden, dan schiet je hem in de grond, neem daar de helft van van deze twee, dan zit je aardig in de richting. 

 Met wat rekenwerk zal blijken dat de optimale afstand bij 45 graden wordt bereikt (als alle storende effecten als luchtwrijving worden verwaarloosd).
Het is niet een simpel "90 graden is niks, 0 graden is niks, dus is het de helft". In dit geval blijkt dat zo te zijn, maar niet als resultaat van 90/2 graden.

En als je de tijd wilt berekenen met de formule 1/2gt²+v_yt+y_o?
Uiteindelijk toewerkend naar de maximale hoogte die behaald kan worden door de kanonskogel.

dat gaat hem niet worden. Als je daarmee de tijd wil berekenen zullen alle andere variabelen, en dus ook die hoogte, al bekend moeten zijn.

Maar je kunt wel met v_eind=v_begin + g·t een tijd berekenen tot v_eind 0 is geworden (en dus de maximale hoogte is bereikt). 

Groet, Jan

Bij een "ideale" situatie zonder wrijving is de weg omhoog even lang als de weg omlaag. Dus, zoals Jan suggereert, bepaal je de tijd tot v = 0 m/s en ben je in het hoogste punt. Na nog zo'n periode ben je beneden.
Als je vanaf een heuvel start, bereken je eerst heuvel-hoogste punt en daarna hoogste punt-grond.