Icon up Overzicht

De vrije schop van David Beckham

Onderwerp: Aerodynamica, Kracht en beweging, Modelleren

In oktober 2001 schoot de Engelse voetballer David Beckham bij een vrije trap tegen Griekenland de bal in één keer in het Griekse doel. Het bijzondere van dit fameuze doelpunt was de baan van de bal. De bal werd enigszins naar rechts weggeschoten maar draaide af naar links en bereikte het doel in de linkerhoek. Om te zien hoe dit mogelijk is, wordt hier uitgelegd hoe je de beweging van de bal kan modelleren in Coach.

David Beckham scored England’s second goal on a free kick. Gary M.Prior/Allsport

De feiten

Eerst kijken hoe de bal beweegt.

Een video filmpje van de vrije trap van Beckham

 

De animatie van de beweging van de bal

 

Waarom buigt de bal af?

Een tollende bal buigt af omdat er een kracht op werkt tengevolge van een verschil in snelheid waarmee de lucht links en rechts langs de bal stroomt. In de tekening hiernaast zie je de bal. Door de draaiing van de bal wordt de langs de bal stromende lucht aan de rechterkant afgeremd en aan de linkerkant versneld. De stroomsnelheid rechts is dus lager dan links. Volgens de wet van Bernoulli is de druk van de lucht bij lage stroomsnelheid hoog en bij hoge stroomsnelheid laag. Aan de rechterkant van de bal is een hogere druk van de lucht dan aan de linkerkant. Dit leidt tot een kracht naar links, in de figuur ‘“Magnus” lift force’ genoemd. Het verschijnsel dat een vooruit bewegende en tegelijkertijd tollende bal of cilinder in lucht een kracht opzij krijgt wordt het magnuseffect genoemd. Genoemd naar de Duitse natuurkundige Heinrich Gustav Magnus (1802-1870). Dat magnuseffect is een gevolg van de wet van Bernoulli. Door de zijwaartse kracht krijgt de bal een afbuiging naar links. In diverse sporten zoals tennis en baseball wordt van het magnuseffect gebruik gemaakt om het de tegenstanders zo moeilijk mogelijk te maken. De beroemde vrije trap van Beckham (ook de Duitser Ballack en de Braziliaan Roberto Carlos zijn befaamd om hun effectballen) is natuurkundig te verklaren met het magnuseffect.

 

Model maken

We gaan van de beweging van de bal een Coach model maken. Om de beweging van de bal in 3 dimensies te kunnen modelleren, moeten de coördinaten duidelijk zijn.

De coachbestanden die bij dit artikel horen, kun je onderaan dit artikel downloaden. 

De verschillende aanzichten van de beweging van de bal en de coördinaatassen.

In de tekening hierboven zie je dat de oorsprong vlakbij het startpunt van de bal ligt, midden voor het doel.
In het bovenaanzicht zie je dat de positieve y-as naar het doel loopt en de positieve x-as naar rechts, precies zoals je gewend bent.
In het zijaanzicht zie je dat de positieve z-as omhoog is.
Het doel bevindt zich bij x = 27,5 m en loopt van y = -3,66 m tot y = + 3,66 m De hoogte van de lat is bij z = 2,44 m

Modelleren

Het maken van een model van een beweging is eigenlijk heel eenvoudig. Het enige wat nogal veel denkwerk kan eisen is het goed onderbrengen van de krachten in het model. Heb je voor de componenten van de kracht in x-, y- en z-richting de goede formules gevonden, dan is de rest van het model simpel: de versnelling is F/m en de snelheid vind je met: nieuwe snelheid wordt oude snelheid + a*dt. De nieuwe plaats wordt oude plaats +v*dt
Voor de z-richting krijg je dus:
az := Fz/m
vz := vz + az*dt
z := z + vz*dt
t := t + dt

Met modelleren is het verstandig om eenvoudig te beginnen en later het model uit te breiden we gaan de beroemde vrije trap van Beckham in drie stappen modelleren

  1. zonder luchtwrijving
  2. met luchtwrijving
  3. met magnuseffect

1. Model zonder luchtwrijving

We nemen aan dat de bal een beginsnelheid heeft van 30 m/s (= 108 km/h) en onder een hoek ‘alfa’ van 15o wordt weggeschoten. De massa van de bal is 400 gram en de straal is 11,4 cm. In deze activiteit was de hoek ingesteld op radialen. Vandaar dat er een omrekening is van ‘alfa’ in graden naar radialen. Hoek in radialen = alfa*PI/180

 

Hierboven zie je het model en de startwaarden zonder wrijving. Voor de beweging in x richting is ook alvast een aantal regels ingevoerd. Het resultaat zie er zo uit:

beweging van de bal zonder luchtwrijving

Zonder luchtwrijving zou de bal van Beckham over het doel heengegaan zijn.

2. Model met luchtwrijving

Met luchtwrijving wordt de zaak wat ingewikkelder. Nu werkt niet alleen de zwaartekracht, maar ook de luchtwrijvingskracht op de bal. De luchtwrijving is tegengesteld gericht aan de snelheid en, nemen we aan, evenredig met het kwadraat van de snelheid.

Snelheid en krachten op de bal. In de negatieve z-richting werken zwaarkracht en de z-component van de luchtwrijving. In de negatieve y richting werkt de y component van de luchtwrijving.

Voor de grootte van de luchtwrijvingskracht - nemen we aan - geldt de formule:

>

In deze formule is A het frontaal oppervlak en ρ de dichtheid van de lucht. De coëfficiënt k is dus

>

Voor cw nemen we 0,43 en voor de dichtheid van de lucht 1,2 kg/m3. De resulterende kracht in z-richting is dus:

>

En v kan je uitrekenen metv = √(vx2 + vy2 + vz2) (volgens de stelling van Pythagoras) Op dezelfde manier vind je dat Ftot,y = - Fw,y = - k*v*vy Als we dit alles in het model invoeren krijgen we:

 

Het resultaat is eigenlijk een beetje teleurstellend. De bal komt nu vóór het doel op de grond en de keeper kan hem waarschijnlijk gemakkelijk houden.

Dat is niet erg. Door het veranderen van de beginsnelheid of de beginhoek is daar een beter schot van te maken.

Verschil tussen schot met luchtwrijving (blauw) en zonder luchtwrijving.

3. Model met luchtwrijving en magnuseffect

Nu wordt de zaak nog een stapje ingewikkelder: door het magnuseffect krijgt de bal een afwijking naar links, dus in de negatieve x-richting. De magnuskracht staat loodrecht op de snelheid en ook loodrecht op de as waar de bal omheen draait. Als de bal om een verticale as draait, is de magnuskracht horizontaal dus in het XY- vlak. Naar de grootte van de magnuskracht is veel onderzoek gedaan en als je het heel precies wil weten, is het ook uiterst ingewikkelde materie. Voor ons programma maken we gebruik van een simpele benadering. Volgens de wet van Bernoulli is de kracht evenredig met het aantal omwentelingen per seconde en met de snelheid v. Een bruikbare formule is

>

In de formule is ρ de dichtheid van de lucht, d de diameter van de bal, f het aantal omwentelingen per seconde en v de snelheid van de bal. cm is een constante die voor situaties als de vrije trap van Beckham in de buurt van 1 ligt. Neem de formule wel met een korreltje zout, want in plaats van de 8 had er eventueel ook π2 kunnen staan.

We programmeren de magnuskracht met de formule:

>

Snelheid en magnuskracht op de bal. De magnuskracht staat loodrecht op de snelheid en loodrecht op de rotatie-as. Uit de figuur is te halen hoe je de componenten van Fm kan berekenen.

In de figuur hierboven zie je de situatie getekend. Voor de x-component van de magnuskracht geldt: Fm,x = - Fm*cosα = - km*f*v*cosα = - km*f*vy Voor de y-component van de magnuskracht geldt: Fm,y = Fm*sinα = km*f*v*sinα = km*f*vx Uit videometing is gebleken dat de bal van Beckham ongeveer 10 omwentelingen per seconde maakte, dus we nemen f = 10. Omdat er nu ook een snelheid in x-richting gaat komen, krijgt ook de luchtwrijving een x-component. Het model zou er nu zo kunnen uitzien:

 

Hieronder zie je het resultaat van de computerberekening. De bal wijkt inderdaad af naar links maar komt ver naast het doel terecht.

Baan van de bal met magnuseffect.

Baan van de bal met magnuseffect.

Met een beginsnelheid in de positieve x-richting van 3 m/s (vx=3 in de startwaarden) en een iets grotere hoek (16o) en een wat grotere beginsnelheid b.v. 34 m/s is het resultaat heel wat beter. Kijk maar naar de volgende figuren.

Verbeterde baan (vx=3; alfa=16; v=34) (blauw) en de oorspronkelijke baan(grijs). De bal gaat nu wel in het doel.

Verbeterde baan (vx=3; alfa=16; v=34) (blauw) en de oorspronkelijke baan(grijs). De bal gaat nu wel in het doel.

Verbeterde baan (vx=3; alfa=16; v=34) (blauw) en de oorspronkelijke baan(grijs). De bal gaat nu wel in het doel.

Download bestand
Je kunt hier de projecten als Coach-bestand downloaden. Je krijgt dan een zipfile met daarin vijf verschillende coach bestanden die je kunt openen met het programma Coach.