Examen 2002 Revisited.

Onderwerp: Aerodynamica, Arbeid en energie, Modelleren

Toelichting parachute-opgave afgelopen examen Natuurkunde.

In het afgelopen VWO examen was een opgave opgenomen waarin een parachutist vermoedelijk uit een helikopter springt, waarbij er kennelijk geen beginsnelheid in horizontale richting was. Er werden een paar vragen gesteld over de resulterende grafiek. Daarin was de hoogte van de springer ten opzichte van de grond uitgezet tegen de tijd. De opgave zelf was voor de meeste leerlingen redelijk eenvoudig te maken, maar er blijft een interessante vraag over. Hoe zijn de makers van de opgave aan de juiste grafiek gekomen? Dat vraagt om nadere bestudering.

De beweging

De valbeweging is eenvoudig te beschrijven met de volgende bewegingsvergelijking:

We nemen aan dat de snelheid vrij hoog is. Het Reynoldsgetal (R=D*v/u).D is een karakteristieke vormgrootheid, v is de snelheid en u (de viscositeit van de lucht) is dan groot en er zal een turbulente stroming optreden. Nu zal de wrijvingskracht toenemen met de snelheid in het kwadraat.

De wiskunde

Om de beweging weer te geven met behulp van een grafiek staan er twee wegen open: een benadering met behulp van een numeriek model of een analytische oplossing van deze tweedegraads tweede orde differentiaalvergelijking:

Het voordeel van de analytische oplossing: de snelheids- en versnellingsfuncties zijn vrij eenvoudig te vinden door het differentiëren van de plaatsfunctie. De numerieke benadering is vrij simpel uit te werken (zie kader 1), maar de differentiaalvergelijking vereist wat improvisatievermogen. (zie kader 2).

De natuurkunde

Door het openen van de parachute verandert de wrijvingskracht in heel korte tijd. Deze beweging tijdens het opentrekken is erg moeilijk te beschrijven. De enige oplossing is de Cw waarde en de oppervlakte van de parachute ook afhankelijk te maken van de tijd gedurende de schok. Omdat het hier een relatief korte tijd betreft, is in het gebruikte model en de analytische oplossing geen rekening gehouden met dit deel van de beweging. Na het openen kan de sterk toegenomen wrijvingskracht berekend worden door de Cw waarde en de oppervlakte van de parachute te vergroten. Er kunnen mooi aansluitende grafieken ontstaan: door zowel in het model als in de analytische oplossing een splitsing aan te brengen in de tijd én de integratieconstanten aan te passen. Het Coachmodel levert goede resultaten:

De versnelling g wordt hier negatief gekozen, dus de snelheid is ook negatief. Deze wordt na het openen van de parachute mooi constant op een waarde van -5 m/s. Flash geeft vergelijkbare resultaten:

Tot slot

Wel, deze examenopgave gaf weer aanleiding tot een paar uurtjes prettig puzzelen.