dag n,

Even een stapje naar de wiskunde in de hoop dat je de eigenlijk simpele achtergrond van die oppervlaktemethode ziet. 

We bedenken een weg. Op verschillende punten van die weg meet ik de breedte. Die blijkt overal 5 meter te zijn. (lekker simpel)

Ik ga nu de grafiek van die weg tekenen, en zet daarvoor de breedte uit tegen de lengte.

 

oppervlakte houdt verband met lengte en breedte: opp = lengte x breedte

Wil ik de oppervlakte asfalt weten op een stuk weg van 8 m lang, dan kan ik makkelijk de formule toepassen: 8 x 5 = 40 metermeter, en dat schrijf ik dan als meter² (m²) . Ik ga hier bewust, voor de latere overstap naar natuurkundeformules, de eenheid van oppervlakte metermeter blijven noemen.

Ik kan ook hokjes onder mijn grafiek gaan tellen. Want elk hokje heeft een oppervlakte van 1 m x 1 m = 1 metermeter. Tot aan een lengte van 8 m tel ik 40 hokjes tussen mijn grafieklijn en de x-as. Dat aantal hokjes x de oppervlakte van 1 hokje is blijkbaar een bruikbare manier om aan de oppervlakte van mijn weg te komen, om die formule te omzeilen.

Dat blijft ook lukken als ik een andere schaal kies 

de oppervlakte van 1 hokje in dit diagram is 3 x 5 = 15 metermeter

Bij een weg van 30 meter lengte tel ik 18 hokjes tussen mijn grafieklijn en de x-as:  18 x 15 metermeter = 270 metermeter

Dit blijft ook prima werken voor wegen met een onregelmatiger vorm 

kwestie van hokjes tellen, onvolledige hokjes tot hele hokjes samenvoegen, en tellen maar. 

een hokje heeft ook hier een oppervlak van 3 x 5 = 15 metermeter.

totaal 20 hokjes, dus de oppervlakte van de eerste 40 meter steeds breder wordende weg is blijkbaar 20 x 15 = 300 metermeter. 

ben je zover mee, in het toepassen van oppervlaktemethode in een wiskundig verband? ? Dan kunnen we zometeen deze techniek eens meenemen naar natuurkundige verbanden

Groet, Jan

toppertje

 

ja ik begrijp het nu, maar kun je iets natuurkundiger uitleggen. 

dus met v/t diagram.

mvg,

n

dag n,

gedurende een meettijd van  40 s verandert de snelheid van een auto van 6 m/s naar 9 m/s. 

De vraag wordt: welke afstand legt de auto af in die 40 s. 

 

afstand = snelheid x tijd. 

snelheid is niet constant, direct deze formule toepassen is dus niet mogelijk. Maar met de oppervlaktemethode kunnen we dat wél.

Want als ik nu eens goed in mijn grafiek kijk wat nu de hoogte van 1 hokje voorstelt, dan is dat 3 m/s, en de breedte van een hokje stelt  5 s voor.

de oppervlakte van 1 hokje stelt dus 3 (m/s) x 5 (s) =  15 (meter : seconde  x seconde) is 15 meter  voor

hokjes tellen tussen grafiek en x-as, dat zijn er twintig, de auto legt in die 40 seconden een afstand van 20 x 15 = 300 m af. 

met deze lineaire grafiek is de geldigheid van deze aanpak ook goed te checken, want de gemiddelde snelheid van de auto over dit traject was (6+9):2 = 7,5 m/s. 

s= v_gem x t = 7,5 x 40 = 300 m. 

 

Het komt er dus op neer:

• bereken wat één hokje voorstelt
• tel de hokjes

 

Ah handig! Ik snap het nu ook veel beter, zal morgen handig van pas komen bij de toets!

wauw, wat een top uitleg!!! heel erg bedankt!!!

Beste jan van dat velde, 
Hoe kun je dat berekenen bij een niet constante versnelling maar bijv bij een niet afnemende versnelling een is dan dat je wel versneld maar steeds minder dan krijg je een schuine lijn met een soort bocht. Kun je Ast z.s.m. reageren op heb overmorgen een tentamen. 
M.v.g.
Onbekend

De hele "truc" zit hem in het trekken van een horizontale lijn (zodat de vermenigvuldiging  hoogte x breedte een makkelijke rechthoek wordt) op zo'n hoogte dat het oppervlak van de grafiek dat boven die lijn uitkomt (en dus niet wordt meegeteld in de vermenigvuldiging) gelijk is aan het oppervlak dat nu wel wordt meegeteld maar eigenlijk boven de grafiek ligt en er niet bijhoort.
Als je evenveel "onterecht meegeteld" als "onterecht niet meegeteld" doet zit het netto goed.

Iemand in mijn klas noemde het ooit de "zandschuivermethode" en daar lijkt het wel wat op. Een "hobbel" teveel materiaal wordt in een "gat" waar te weinig zit geschoven zodat het eindresultaat een vlak gebied is.

In de figuur hieronder zie je zoiets: het bruine gedeelte wordt "weggeschoven in het gele gedeelte". Zo ontstaat een makkelijker uit te rekenen rechthoek:  10,5 m/s  hoog,  9,6 s breed, totaal afgelegde weg is oppervlak onder de 10,5 m/s lijn:  10,5 x 9,6 = 100,8 m

Behalve die bulldozermethode van Theo, anders ook stomweg hokjes tellen:



Je bedoelt zoiets als die grafiek hierboven. 
Dan heb ik sowieso al 21 hele hokjes (lichtblauw)
De gele stukjes bij elkaar zijn zo goed als één hokje, de lila stukjes en de groene stukjes elk ook.
Heb ik nog 4 open gaten die samen ongeveer 3 hele hokjes groot zijn. 

Totaal dus 27 hokjes, en dan zit ik er op zijn slechtst een half hokje naast. 
Hmm, fout van maximaal ongeveer 2%, kun je daarmee leven?
Zo niet, dan zul je de grafiek op kleinere hokjes moeten afdrukken.

Dus, wat is volgens jou de afgelegde weg van de versnelde beweging hierboven, en wat de gemiddelde snelheid? 

Groet, Jan

Hoe bereken je dat met integralen ? En wat is de oppervlakte van een x-t grafiek als ik nu julie uitleg toepas moet ik x.t=oppervlakte 
uit de bekende formules is v=x/t dus alles maal t^2 (tijd in het kwadraat) dan krijd ik v.t^2= x.t (door het vereenvoudigen van de t) dus de oppervlakte onder een x-t grafiek is v.t2 en als ik v wil weten deel ik door t^2 ? mag ik dat zo doen?

Met integralen werkt het precies hetzelfde. Onder een grafiek maak je dunne rechte staafjes van breedte dx en hoogte f(x). Het oppervlak van dat staafje is f(x)dx (=hoogte x breedte). Het totale oppervlak is dan de som van alle staafjes-oppervlakten, dwz door vanaf x=x₁ tot x=x₂ alle staafjes met breedte dx op te tellen:




Als je de staafjes steeds smaller maakt (van geel naar groen in bovenstaande figuur) dan benader je de echte oppervlakte onder de grafiek steeds beter.

Als de functie van de tijd afhangt van verander je x in t .
v_gem=Δx/Δt  (Δs = Δx/Δt Δt  = Δx zoals je niet mag verbazen, evenmin als een herschrijving Δx = v Δt) maar hierbij is afgelegde weg x  (of stukje Δx) wel een functie van t (want snelheid v is eigenlijk v(t)  ).
vΔt is het oppervlak van een klein staafje en vertegenwoordigt een afgelegde weg. Alle staafjes bij elkaar geteld geven de totale afgelegde weg (zoals je vast in je boek ook zag: oppervlak onder de v,t grafiek is de afgelegde weg - dus niet van een x,t diagram!).
Dus in integralen:

als bij een gewoon eenparige versnelling geldt dat v=at. Bij andere tijdsafhankelijkheid moet je een andere f(t) nemen. En als die er niet is, dan wordt het "numeriek integreren", dwz letterlijk steeds staafjes optellen met breedte dt en de daarbij geldende (gemiddelde) waarde v voor dat tijdstip t.

Dag Imene,

dat is dus een hoeveelheid meterseconden, of kilometeruren. En dan wordt de vraag, kun je dat een zinvolle betekenis geven in de gemeten wereld? 

..... dan ga je in een x/t grafiek niet zitten integreren of oppervlaktemethode toepassen, dat is net zoiets als 4 en 7 bij elkaar optellen door eerst 5 af te trekken en dan er 12 bij op te tellen: beetje een omweg. 

dan ga je dat eenvoudigweg na. Probeer dat eens in onderstaande x/t grafiek voor een beweging met constante snelheid? 



groet, Jan

HOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOODEEEEEEEEH, Zelfs in 2021 nog handig. thx pik

 Oh, die paar jaar is niks hoor. Ik vind wat Galileo 4 eeuwen geleden deed, en Pythagoras 2 millenia geleden, ook nog steeds helemaal niet ouderwets en onhandig. 

En net als in de tijd van Newton valt alles nog steeds gewoon recht naar beneden. Wis- en natuurkunde zijn niet aan mode onderhevig. Op zijn best aan stap voor stap veelal marginale verbeteringen/verfijningen. 

Groet, Jan

Hoi,
ik had een vraag over hoe je het formuleerd op een toets dat je de blokjes methode gebruikt. 
groet, Fay

"Benadering van het oppervlak"? (=aantal hokjes bij benadering)

`dag Fay,

dan noteer je bijvoorbeeld dat de oppervlakte onder de grafiek tussen tijdstippen A en B  C blokjes is
dat elk blokje een afstand van  D m/s x E s = F meter voorstelt
en dat het voertuig dus  een afstand van C x F = G meter heeft afgelegd in die tijd. 

Rekenstappen volledig zichtbaar. Niks mis mee.

Groet, Jan

Dag Fay,
Voorbeeld 1, als een snelheid,tijd-diagram gegeven is ($v$ verticaal, $t$ horizontaal).
'De verplaatsing is gelijk aan het oppervlak tussen de $v$-grafiek en de $t$-as.'
Liever niet 'de verplaatsing is het oppervlak onder de $v$-grafiek'. Want als de $v$-grafiek in een deel van de tijd beneden de $t$-as loopt, telt dat stuk oppervlak negatief. Dat is een beweging 'achteruit'.

Voorbeeld 2, als een vermogen,tijd-diagram gegeven is ($P$ verticaal, $t$ horizontaal).
'De omgezette energie $E$ is gelijk aan het oppervlak tussen de $P$-grafiek en de $t$-as.'

Als dit niet duidelijk is: noem je eigen voorbeeld.
Groet, Jaap