Reacties
Erwin, 9 feb 2011
Hallo,
Wat gebeurt er met deze tijdsduur wanneer de massa van de ene MacBook 2 keer zo groot is?
twee keer zo groot is als wat of wanneer?
Groet, Jan
Wanneer de massa van het ene voorwerp twee keer zo groot is. Dus de ene keer zijn ze allebei 5 kg en de volgende keer is de ene 5 kg en de andere 10 kg
gebruik de algemene formule voor zwaartekracht
http://nl.wikipedia.org/wiki/Gravitatiewet_van_Newton#Formule
Vraag 1: m1 wordt 2 x zo groot, dus wat gebeurt er met Fz?
bedenk, élk van de twee macbooks ondervindt die zojuist berekende zwaartekracht
vraag 2: wat gebeurt er met de versnelling van m1?
vraag 3: wat gebeurt er met de versnelling van m2?
vraag 4: wat gebeurt er dus met de tijd tot ze op elkaar klappen?
Hieraan (kwantitatief) gaan rekenen wordt complex. De kwalitatieve redenering lijkt me echter voor een VWO-6 NT niet teveel gevraagd. Eenmaal doorzien heel basis eigenlijk. Ideale inzichtsvraag.
Groet, Jan
Ik denk dat de verhouding van het tijdsverloop voor een botsing bij twee verschillende waarden m en M voor een van de notebooks gelijk is aan tm/tM = √ (M/m)3 ofwel dat voor een verhouding M = 2m de tijd tm = √8 tM
Dwz de kleinere massa heeft een 2,8 keer langere tijd tov een tweemaal zo grote massa.
Hoe kom ik daar op (als ik me niet vergis/verschrijf)? Voor VWO-6 wel te volgen, maar niet om zelf te bedenken (hoewel... Newton en Leibniz deden dit soort dingen al als tieners - dan voel ik me zo dom):
Uit F = m1.a1(r) = m1 . Gm2/r2
volgt a1(r) = Gm2/r2 op elke afstand r tot elkaar
Algemeen is a = dv(r)/dt dus dt = dv1(r)/a1 = r2/(Gm2) dv1(r)
zodat de tijd nodig om de afstand r te overbruggen de integraal is: links van t=0 tot t=T en rechts van snelheid 0 tot eind/botsingssnelheid v:
∫ dt = T - 0 = T = ∫ r2/(Gm2) dv1(r)
Maar wat is dv1 in termen van afstand r om deze integraal uit te rekenen? (dv = dv/dr . dr)
Uit energie-overweging kunnen we stellen dat de potentiele energie van m1 gelijk is aan 0 in het oneindige en een negatieve, vaste waarde heeft op de beginafstand R, en verder afneemt richting m2 als de afstand kleiner wordt dan R en dat dit ten goede komt aan toename van de kinetische energie van 0 naar 1/2 m1v12 :
ΔUpot + ΔUkin = (- Gm2/r + Gm2/R ) + 1/2 m1v1(t)2 = 0
zodat v1(t) = 2 (Gm2/r - Gm2/R)1/2
en daarmee dv1(t)/dr = 2 . 1/2 (Gm2/r - Gm2/R)-1/2 . (-1).r-2
dan kan dv apart geschreven worden:
dv1 = - (Gm2)-1/2 (1/r - 1/R)-1/2 . r-2 dr
(dv neemt toe want dr neemt af: - maal - wordt +)
Invullen in wat we al hadden:
T =∫ r2/(Gm2) dv1 = ∫ r2.(Gm2)-1 . - (Gm2)-1/2(1/r - 1/R)-1/2 . r-2 dr
T = - (Gm2)-3/2 ∫ (1/r - 1/R)-1/2 r-2 dr
De integraal kun je verder uitrekenen (is negatief), maar de massa-afhankelijkheid van de tijd valt buiten de integraal (massa niet afhankelijk van de afstand r). Die integraal zal voor elke twee massa's die aanvankelijk op afstand R van elkaar staan, dezelfde waarde krijgen.
Daarom kun je zeggen dat de tijd T evenredig is met m2-3/2 ofwel 1/√m23 .
Dus 2x grotere massa van een der notebooks leidt tot (2)-3/2 = 0,35 maal zo lange tijd (dwz 1/0,35 = 2,8 maal zo kort).
Hmm, ik begrijp het niet helemaal..
Ik heb ondertussen ook wat bedacht:
De zwaartekracht verdubbelt, de versnelling van m1 blijft hetzelfde en de versnelling van m2 verdubbelt. Door s= 1/2 at2 te herschrijven tot t = √(2s / a) kun je de tijdsduren vergelijken. Gewoon willekeurige getalen invoeren en die steeds hetzelfde houden. De tijdsduur wordt dan 1,4 keer zo groot.
Erwin, 11 feb 2011
De zwaartekracht verdubbelt, de versnelling van m1 blijft hetzelfde en de versnelling van m2 verdubbelt. Door s= 1/2 at2 te herschrijven tot t = √(2s / a) kun je de tijdsduren vergelijken. Gewoon willekeurige getalen invoeren en die steeds hetzelfde houden. De tijdsduur wordt dan 1,4 keer zo groot.
De denkfout hier is dat de formules als s = 1/2 at2 uitgaat van een constante versnelling a en dat je deze uitsmeert over de hele afstand s tussen beide massa's.
Maar a = GM/r2 en wordt groter bij een telkens kleiner wordende r (afhankelijk van t) en feitelijk a een functie van r en t is. Je kunt deze dus niet als constante in t = √(2s / a) plaatsen.
Erwin, 11 feb 2011
De zwaartekracht verdubbelt, de versnelling van m1 blijft hetzelfde en de versnelling van m2 verdubbelt. Door s= 1/2 at2 te herschrijven tot t = √(2s / a) kun je de tijdsduren vergelijken. Gewoon willekeurige getalen invoeren en die steeds hetzelfde houden. De tijdsduur wordt dan 1,4 keer zo groot.
Huh? Hoezo grotere tijdsduur? Als je een grotere a invult in t = √(2s / a) dan wordt t toch alleen maar kleiner? Wat betreft het kwantitatieve, zie post van Theo hierboven.
Groet, Jan