slingertijd bij grote uitwijking

Mindy stelde deze vraag op 31 mei 2008 om 14:55.

hallo!

Ik moet een werkstuk maken voor natuurkunde en ik stuitte op het volgende probleem: Ik kan nergens de formule vinden voor de slingertijd als functie van een GROTE uitwijking.  Kan iemand me misschien helpen?

Groetjes,

Mindy

Reacties

Jan op 31 mei 2008 om 15:37

Dag Mindy,

Daar is geen formule voor. Die situatie is namelijk niet analytisch (dwz wiskundig exact) op te lossen.

Die formule voor een kleine uitwijking rolt namelijk uit een wiskundige afleiding waarbij dingen die bij een kleine uitwijking BIJNA aan elkaar gelijk zijn (de sinus van de uitwijkingshoek en de uitwijking zelf) ook inderdaad gelijk verondersteld worden, zodat er ineens dingen tegen elkaar weggestreept kunnen worden.

Die eenvoudige formule klopt dus gewoon niet, al doen we nét alsof, omdat de afwijking eigenlijk verwaarloosbaar is (zolang de uitwijking klein blijft) Maar bij een uitwijkingshoek van 10° is de afwijking in de berekende trillingstijd t.o.v. de wérkelijke trillingstijd al ongeveer 0,5 %.

 http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/sque/physics/simple-pendulum/

Hier vind je een afleiding (in het Engels), mocht je er iets aan hebben.

groet, Jan

 

Mindy op 31 mei 2008 om 15:52

Beste Jan,

 Heel erg bedankt voor je snelle reactie! Maar ik dacht dat ik al op het goede spoor was toen ik deze formule vond:

F(theta) = -mgl sin(theta) = (ongeveer) - mgl (theta)

theta is hierbij de uitwijkingshoek.

Zou deze formule niet kunnen kloppen? Wat is jouw mening hierover?
Groetjes,

 Mindy

Jan op 31 mei 2008 om 16:10

Dag Mindy,

je formule geeft geen T, maar een F bij een bepaalde hoek theta, d.w.z. op één bepaald tijdstip in de beweging.

Zodra de slinger als gevolg van die F begint te versnellen verandert de hoek theta, en bijgevolg verandert de F, waardoor de versnelling weer verandert. enzovoort enzovoort enzovoort. En darmee zit je in een soort cirkelredenering, die je dus analytisch niet kunt oplossen.

Zoiets kun je wél in een simulatieprogramma stoppen die steeds in stapjes van bijvoorbeeld een milliseconde de nieuwe situatie uitrekent, en de eindgegevens (hoek, snelheid) gebruikt als startgegevens voor het volgende stapje van 1 ms, enz.

Hoe kleiner je de tijdstapjes maakt, hoe nauwkeuriger je simulatie. Zoiets moet ook in excel nog wel te doen zijn, als je één keer de berekening voor één zo'n stapje op een rijtje hebt is het daarna een kwestie van kopiëren en plakken, een paar duizend regels onder elkaar.

Mocht je tot een werkelijk kloppende formule kunnen komen, dan heb je de Abelprijs (er is geen Nobelprijs voor de wiskunde) dik verdiend.

http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_Prize

groet, Jan

Jan op 01 juni 2008 om 11:01
Wat ik gisteren ook nog zocht maar zo gauw niet te pakken kreeg:    http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum

 

 Simple pendulum
Amplification of period factor of a pendulum for growing angular amplitude. For little oscilations factor is approximately 1 but it tends to infinity for angles near π (180º).

If and only if the pendulum swings through a small angle (in the range where the function sin(θ) can be approximated as θ)[16] the motion may be approximated as simple harmonic motion. The period of a simple pendulum is significantly affected only by its length and the acceleration of gravity. The period of motion is independent of the mass of the bob or the angle at which the arm hangs at the moment of release. The period of the pendulum is the time taken for one complete swing (left to right and back again) of the pendulum. The formula for the period, T, is

where is the length of the pendulum measured from the pivot point to the bob's center of gravity and g is the local gravitational acceleration.[17]

For larger amplitudes, the velocity of the pendulum can be derived for any point in its arc by observing that the total energy of the system is conserved. (Although, in a practical sense, the energy can slowly decline due to friction at the hinge and atmospheric drag.) Thus the sum of the potential energy of bob at some height above the equilibrium position, plus the kinetic energy of the moving bob at that point, is equal to the total energy. However, the total energy is also equal to maximum potential energy when the bob is stationary at its peak height (at angle θmax). By this means it is possible to compute the velocity of the bob at each point along its arc, which in turn can be used to derive an exact period.[18] The resulting period is given by an infinite series:

[17]

Note that for small values of θmax, the value of the sine terms become negligible and the period can be approximated by a harmonic oscillator as shown above.

 En zo heb je dus tóch je formule, al is het nog steeds een benaderingsformule....

Groet, Jan

Jaap op 01 juni 2008 om 12:53

Dag Mindy, Jan,
In de bijlagen staan  twee aanvullingen op Jans bijdragen.
Groeten,
Jaap Koole

Jan op 01 juni 2008 om 14:45

 

Nou Mindy,

 

Een vollediger antwoord denk ik niet dat je mag verwachten na Jaap's geweldige werk.

Groet, Jan

 

Mindy op 01 juni 2008 om 15:56

heel erg bedankt allemaal! hier kan ik zeker mee vooruit!

 groetjes mindy

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Clara heeft dertig appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Clara nu over?

Antwoord: (vul een getal in)