Dag Anne,

Het onderstaande is vectorieel bedoeld, maar niet met vectornotatie getypt. De drie componenten worden steeds in grootte gegeven en de bijbehorende richting is die van de eenheidsvectors (lengte 1) die langs de X-as (e_x), Y-as (e_y) of Z-as (e_z) wijzen.

1) Kracht

v=dr/dt=(6t-6)*e_x-12t²*e_y+3*e_z
a=dv/dt=6*e_x-24t*e_y

F=m*a=5*(6*e_x-24t*e_y)=30*e_x-120t*e_y

2) Impuls

p=m*v=m*[(6t-6)*e_x-12t²*e_y+3*e_z]=(30t-30)*e_x-60t²*e_y+15*e_z

3) Impulsmoment (of draaiimpuls of hoekimpuls) L

Een impulsmoment beschrijft de rotatie van een voorwerp om een punt (of as) a.g.v. een impuls (een beweging in richting van de snelheid v)  die het voorwerp heeft.

Het impulsmoment is altijd ten opzichte van een bepaald punt en dan moet je de loodrechte afstand van de impulsvector tot dat punt nemen.
L = p.r_loodrecht . Dit wordt in 3-dimensionale vectors meestal als een zogenaamd uitwendig vectorproduct geschreven: L = r x p  (ik kan geen pijltjes boven de letters zetten, dus dan maar dikgedrukt). Het voert te ver hier om een uitwendig vectorproduct uit te leggen (zie elk boek over vectorrekening), maar de drie componenten van L (L_x, L_y, L_z) kun je berekenen door

L_x=y*p_z-z*p_y=m*[(-4t³)(3)-(3t+2)(-12t²)]=m*(24t³+24t²)=120t³+120t²

L_y=x*p_z-z*p_x=m*[(3t²-6t)(3)-(3t+2)(6t-6)]=m*(-9t²-12t+12)=-45t²-60t+60

L_z=x*p_y-y*p_x=m*[(3t²-6t)(-12t²)-(-4t³)(6t-6)]=m*(-12t⁴+48t³)=-60t⁴+240t³

zodat de hele vector L geschreven kan worden in componenten evenwijdig aan de eenheidsvectoren langs X, Y en Z richting  (e_x, e_y, e_z):

L=(120t³+120t²)*e_x+(-45t²-60t+60)*e_y+(-60t⁴+240t³)*e_z

4) Krachtmoment M

Krachtmoment is soortgelijk aan impulsmoment.  Zoals een kracht de verandering van de impuls is, F = dp/dt , zo is een krachtmoment de verandering van het impulsmoment: M = dL/dt

Het krachtmoment ten opzicht van de oorsprong

M=dL/dt=d[(120t³+120t²)*e_x+(-45t²-60t+60)*e_y+(-60t⁴+240t³)*e_z]/dt

= (360t²+240t)*e_x+(-90t-60)*e_y+(-240t³+720t²)*e_z

Dit resultaat volgt ook uit M = r x F. Mee eens?

(oorspronkelijke tekst geformateerd/aangevuld - TdK)

Kunt u misschien uitleggen hoe u aan Lx= y*Pz-z*Py enzo komt? Alvast bedankt!

Dag Sophie,

Als je op de middelbare school zit dan zou ik me hier (met deze uitleg) niet al teveel zorgen maken en elders je informatie over kracht en kracht moment zoeken.

Bij vervolgstudies wordt het wel belangrijk. Dan beweegt een deeltje niet meer in een vlak (zoals XY vlak) of langs een rechte lijn (in de X-richting) maar door de ruimte. En die heeft drie dimensies. Je kunt elke positie van een voorwerp dan aangeven door drie coordinaten: zijn positie langs de X-as, de Y-as en de Z-as (hoogte).  De oorsprong is dan (x,y,z) = (0,0,0) en een punt (1,2,3) vind je met x=1, y=2 en z=3 als coordinaten.

De genoemde e_x e_y en e_z zijn de eenheidsvectoren (ook wel eens i, j en k genoemd in de literatuur). De e_x is bijvoorbeeld 1 eenheid lang en wijst langs de X-as. Zijn pijlpunt zit in (1,0,0).  Zo is e_y de vector met lengte 1 die langs de Y-as wijst en met pijlpunt in (0,1,0). En de e_z heeft zijn pijlpunt op (0,0,1).

Zoals je langs een rechte lijn (zoals langs de X-as) de snelheid kunt berekenen door v = Δx/Δt, kun je voor een punt in de ruimte op positie r (= een punt met waarden voor (x,y,z) ) dit ook, door de verandering per richting te bekijken:
v_x = Δr_x/Δt   en v_y = Δr_y/Δt   en v_z = Δr_z/Δt  waarbij r_x de waarde is van de x-coordinaat van de positie van het voorwerp. En dus Δr_x de verandering van die x-coordinaat doordat het voorwerp ondermeer in de X-as richting beweegt.

Ga je een stap verder dan kun je zo ook de versnelling uitrekenen: a = Δv/Δt  en voor 3 aparte dimensies/richtingen kun je het per richting doen: a_x = Δv_x/Δt  enz.  Maar Δv_x kennen we al: Δv_x = Δ(Δr_x/Δt) en daarmee is a_x = Δ(Δr_x/Δt)/Δt

Voor de wat gevorderden zeggen we dan dat de versnelling de 2e afgeleide naar de tijd is van de positie:  a = d²r/dt²

F = m.a  en ook de kracht F kan in een echte situatie alle kanten opwijzen maar is daarbij altijd in 3 componenten te ontbinden, die langs de X, Y en Z-as wijzen: F = (F_x, F_y, F_z) = (ma_x,ma_y,ma_z)

De oorspronkelijke vraag gaf aan dat de positie in 3 dimensies gegeven was door r=(3t²-6t)e_x + (-4t³) e_y + (3t+2)e_z  .

Dat wil zeggen dat

x(t) = 3t² - 6t
y(t) = -4t³
z(t) = 3t + 2

Voor t = 0 bevindt het voorwerp zich dan op (0,0,+2)  (vul de formules maar in en substitueer t=0). Voor t=1 bevindt het zich op positie (-3, -4, +5).

Om de versnelling in de drie richtingen te berekenen moeten we de beweging langs die richtingen 2x differentieren naar de tijd:

dx/dt = 6t - 6   en d²x/dt² = 6    Dit is de versnelling a_x

dy/dt = -12t²  en d²y/dt² = -24t   Dit is de versnelling a_y

dz/dt = 3  en  d²z/dt² = 0     Dit is de versnelling a_z

De kracht F in de drie richtingen ontbonden heeft dan componenten

F_x = m.a_x  = 5 kg . 6 m/s² = 30  N

F_y = m.a_y = 5 . (-24t) = - 120t  N

F_z = m.a_z = 5 . 0 = 0 N

De kracht wijzigt in de tijd in de y-richting en is constant langs de x richting. Een kracht betekent een versnelling in de betreffende richting. Doordat er in 2 richtingen een kracht werkt verandert de positie van het voorwerp niet langs een rechte lijn door de ruimte maar langs een kromme lijn a.g.v. de krachtinvloed.

Een beetje zoals een wisselende wind ook steeds een blaadje in steeds andere richtingen duwt.

Voor impulsmoment en krachtmoment is het belangrijk van de snelheidsvector v (of versnellingsvector a) alleen die componenten te nemen die loodrecht staan op de verbindingslijn van het voorwerp en de oorsprong. Dan komt het uitwendig product om de hoek kijken en volgen de formules die Jaap al eerder aangaf. Het gaat te ver om dat hier allemaal nog eens uit te leggen - als je met 3 dimensionele mechanica vertrouwd bent dan weet je het en anders moet er eerst een heel boek vectorrekening doorgeworsteld worden. Teveel voor een kort antwoord hier in elk geval. Reden waarom op de middelbare school krachten en impulsen altijd al netjes loodrecht op de arm staan. Dat rekent een stuk makkelijker.