Volume formule?

Niben stelde deze vraag op 28 april 2015 om 17:18.

 L.S.,

Ik kwam vandaag een lastige vraag tegen, waar ik niet zomaar uit kom. Het gaat om een examenvraag van 2011-I, maar hoewel ik meestal wel door vragen heen kom, verbaasde ik me hier erg over. Gevraagd wordt een formule af te leiden uit een andere formule en formules uit BiNaS.



Ik kwam er zelf niet uit, dus besloot ik het antwoordmodel te raadplegen. En wat blijkt? Ze maken gebruik van het feit dat Volume = A (oppervlak) x X (diepte?)
Nu is mijn vraag: waarom kan je deze formule gebruiken? Bij een inhoud als een bol of een schuin afgesneden prisma werkt deze formule toch helemaal niet? Zie ook bijlage.

Alvast bedankt!

Vriendelijke groeten,

Niben

Reacties

Theo de Klerk op 28 april 2015 om 17:30
Je kunt deze formule gebruiken omdat de Pioneer een bepaald oppervlak heeft in de richting waarin hij vliegt en daarmee "veegt" hij door een deel van de ruimte.

Vergelijk met jezelf: jij hebt een bepaald oppervlak van voren en als je hard door de lucht rent, dan doorloop je een volume gelijk aan je oppervlak maal de afstand waarover je rent.

De Pioneer doet dat ook. Hij heeft oppervlak A  en snelheid v dus elke seconde wordt v meter afgelegd en daarmee een volume doorkruist van V= A.v.  Of, zoals de opgave vraagt, als een afstand Δx wordt doorlopen, dan is het volume V = A . Δx .  De (Δ) betekent dat het ook goed gerekend wordt als je het niet over een afstand Δx hebt maar gewoon "x".


PS
Stel dat je een bolvormige Pioneer zou hebben, dan is het oppervlak waarmee het vooruitbeweegt gelijk aan de doorsnede van de bol: het oppervlak waar je tegenaankijkt.  Dan zou een volume doorlopen worden van πr2 x
Niben op 28 april 2015 om 17:49
Zo, dat is nog eens een duidelijk antwoord, en zo snel ook! Het gaat dus om het "pad" wat hij achter laat, waarvan de volume (of inhoud) inderdaad wel kan worden beschreven met een oppervlakte x de afstand. Ja, het is me nu duidelijk!
Alleen hoop ik wel dat er geen (zware) hemellichamen te dichtbij staan, anders zou de baan van de Pioneer niet helemaal perfect rechtdoor zijn, en zou deze een lichte kromming kennen, waardoor deze formule toch weer niet klopt. Maar ik neem aan dat deze (toch wel in zeer kleine mate aanwezige) afwijking buiten beschouwing mag worden gelaten.

Nogmaals bedankt!
Theo de Klerk op 28 april 2015 om 17:56
Als er een hemellichaam in de buurt staat en de Pioneer wordt afgebogen, dan wordt het tijd voor integraalrekenen. Dwz je deelt het pad op in kleine stukjes die ieder voor zich bij benadering wel V = A.x is, maar de x is nu alleen per stukje maar een recht lijntje. En dan moet je alle beetjes bij elkaar tellen.
Als overigens de Pioneer meedraait, d.w.z. met zijn frontale voorkant steeds loodrecht op de voortbewegingsrichting blijft, dan mag je toch die hele afstand als een rechte lijn nemen  x oppervlak. Een beetje als een vierkant kartonnetje dat je door zijn gaatje een hele ring laat doorlopen. Dan is het oppervlak ook lengte ring (=2πr) x oppervlak kartonnetje.

Ik zag net trouwens nog bijgaande tekening op internet. Het rode vlak geeft aan wat als "cross section" of effectief oppervlak genomen moet worden als Pioneer bijvoorbeeld een rechthoekig of driehoekige voorkant zou hebben gehad. Het volume komt dan overeen met het volume dat het rode vlak in die rechthoek of driehoek doorloopt door hem van onder naar boven te schuiven.
Niben op 28 april 2015 om 18:01
Hallo Theo,

Ja, dat integraalrekenen zal wel lastig worden denk ik. En je krijgt ook te maken met overlap van die stukjes toch?
Verder is die afbeelding inderdaad erg duidelijk! Ik denk dat deze vraag niet helderder had kunnen worden beantwoord!

Niben
Jan van de Velde op 28 april 2015 om 18:02

Niben plaatste:

 ik neem aan dat deze (toch wel in zeer kleine mate aanwezige) afwijking buiten beschouwing mag worden gelaten.

Aannemende dat je voor examens aan het oefenen bent: tenzij er nadrukkelijk wordt gevraagd om mitsen en maren bij een of andere stelling, vermoei er dan je hoofd niet mee. Ga er niet méér bij zitten verzinnen dan erbij hoort. Als je bij elke vraag gaat zitten denken: "ja maar, wat als ...(en dan een of ander detail) .... " dan kun je aan elke vraag je volledige examentijd besteden. 
Dat is niet de bedoeling. Een examenvraag bevat als het goed is nooit van dat soort valstrikken. Ga ze dus ook niet zitten zoeken. 

Groet, Jan
Niben op 28 april 2015 om 18:11
Hallo Jan,

U heeft helemaal gelijk, ik moet me inderdaad niet verliezen in details. Probleem is dat ik het soms wel interessant vind om iets verder te denken dan gewoon de normale vraag. Dit ook als voorbereiding op het vervolgonderwijs (TU Delft). Maar in dit geval wordt het wel heel ingewikkeld, want we hebben hier denk ik ook nog eens niet te maken met een cirkelboog, maar met een parabool, of een deel van een ellips (als de Pioneer in een supergrote orbit zou zitten). Dus dan kan je niet bedenken hoeveel overlap je per x aantal meter verder hebt. En misschien dat de overlap aan de binnenkant van de baan wel overeenkomt met het tekort aan de buitenkant van de baan, maar dan zit de snijlijn ook weer niet precies in het midden... Zucht... Ok, ik geef het op, ik ga wel weer gewoon examenopgaven maken.

Groeten,

Niben
Jan van de Velde op 28 april 2015 om 18:15

Theo de Klerk plaatste:

Als er een hemellichaam in de buurt staat en de Pioneer wordt afgebogen, dan wordt het tijd voor integraalrekenen. 
dat lijkt me for all practical purposes zinloos: veronderstellen we een vierkant satelliet-zonnepaneel met zijden van 1 m. De satelliet draait op geostationaire hoogte rond de aarde (da's een betrekkelijk scherpe bocht in de context van een Pioneer) en het paneel staat altijd precies haaks op de baan.... 
De paneelrand in de buitenbocht legt dan 6,28 meter meer af per 24 uur dan de paneelrand aan de binnenbocht. In diezelfde tijd legt het paneel 280 000 KILOmeter af. 
Je sommetje met een kaarsrechte baan maakt  in dat toch redelijk extreme geval een fout van (hou je vast) 0,000 000 000 22 procent.  Who cares? Op een examen al zeker niet, tenzij ze je bewust en duidelijk naar zo'n constatering sturen.

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Roos heeft dertig appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Roos nu over?

Antwoord: (vul een getal in)