Reacties
dag Alex Johannes,
dat kun je afleiden door integreren van je afstandsformule s=v·t . Als je deze vraag stelt beheers je die wiskunde vast nog niet, en dan wordt het lastig om dat uit te leggen met formules. Maar we kunnen ook grafisch integreren :).
Als ik jou vertel dat een auto met een constante snelheid van 10 m/s rijdt, en ik jou dan vraag welke afstand die aflegt tussen t=5 s en t=20 s, dan is dat eenvoudig . Afstand = snelheid x tijd , dus 10 x (20-5) = 150 m.
Laten we ons dat eens grafisch voorstellen:
leuke truuk:
de oppervlakte van één hokje = lengte x hoogte = 5 s x 5 m/s = 25 m....
We zien dat onder de grafiek, tussen t=5 en t=20 s , 6 hokjes liggen (rose gekleurd) .
6 x 25 = 150 m.
Dit geeft dus exact hetzelfde antwoord.
veronderstellen we een auto die plots van snelheid kan veranderen:
je kunt nou 3 sommetjes s=v·t gaan maken
van 5 tot 10 s wordt dat dan s= 15 x (10-5) = 75 m
van 10 tot 15 s wordt dat dan s= 10 x (15-10) = 50 m
van 15 tot 20 s wordt dat dan s= 5 x (20-15) = 25 m
totaal 150 m
je kunt ook zeggen, als ik eerst 5 s rijdt met 15 m/s, dan 5 s met 10 m/s , en dan nog 5 s met 5 m/s, dan is mijn gewogen gemiddelde snelheid over die 15 s gewoon 10 m/s, en geldt s=vgem·t = 10 x 15 = 150 m
of je kunt ook hokjes tellen onder je grafiek tussen die 5 en die 20 s.
6 hokjes x 25 m = 150 m.
Een wat natuurlijker snelheidsverloop zou zijn:
reken nou maar eens de oppervlakte (in (m/s x s) = meter) uit van het deel onder de grafiek.
kun je apart doen, lengte x hoogte van het roze rechthoekje
en voor de driehoek zijde x halve hoogte
(NB: halve hoogte in een driehoek betekent ook GEMIDDELDE hoogte)
Wat je nu feitelijk doet is een tijd (15 s) vermenigvuldigen met een GEMIDDELDE snelheid (10 m/s) en wéér op 150 m uitkomen.
Achtergrond van die gemiddelde snelheid duidelijk?
Groet, Jan
dat kun je afleiden door integreren van je afstandsformule s=v·t . Als je deze vraag stelt beheers je die wiskunde vast nog niet, en dan wordt het lastig om dat uit te leggen met formules. Maar we kunnen ook grafisch integreren :).
Als ik jou vertel dat een auto met een constante snelheid van 10 m/s rijdt, en ik jou dan vraag welke afstand die aflegt tussen t=5 s en t=20 s, dan is dat eenvoudig . Afstand = snelheid x tijd , dus 10 x (20-5) = 150 m.
Laten we ons dat eens grafisch voorstellen:
leuke truuk:
de oppervlakte van één hokje = lengte x hoogte = 5 s x 5 m/s = 25 m....
We zien dat onder de grafiek, tussen t=5 en t=20 s , 6 hokjes liggen (rose gekleurd) .
6 x 25 = 150 m.
Dit geeft dus exact hetzelfde antwoord.
veronderstellen we een auto die plots van snelheid kan veranderen:
je kunt nou 3 sommetjes s=v·t gaan maken
van 5 tot 10 s wordt dat dan s= 15 x (10-5) = 75 m
van 10 tot 15 s wordt dat dan s= 10 x (15-10) = 50 m
van 15 tot 20 s wordt dat dan s= 5 x (20-15) = 25 m
totaal 150 m
je kunt ook zeggen, als ik eerst 5 s rijdt met 15 m/s, dan 5 s met 10 m/s , en dan nog 5 s met 5 m/s, dan is mijn gewogen gemiddelde snelheid over die 15 s gewoon 10 m/s, en geldt s=vgem·t = 10 x 15 = 150 m
of je kunt ook hokjes tellen onder je grafiek tussen die 5 en die 20 s.
6 hokjes x 25 m = 150 m.
Een wat natuurlijker snelheidsverloop zou zijn:
reken nou maar eens de oppervlakte (in (m/s x s) = meter) uit van het deel onder de grafiek.
kun je apart doen, lengte x hoogte van het roze rechthoekje
en voor de driehoek zijde x halve hoogte
(NB: halve hoogte in een driehoek betekent ook GEMIDDELDE hoogte)
Wat je nu feitelijk doet is een tijd (15 s) vermenigvuldigen met een GEMIDDELDE snelheid (10 m/s) en wéér op 150 m uitkomen.
Achtergrond van die gemiddelde snelheid duidelijk?
Groet, Jan
Je kunt ook stellen dat hoe grillig de snelheid ook in de tijd verandert (zoals de trappetjes die Jan tekende), er is dan altijd een "gemiddelde" te vinden dat als afgelegde afstand precies hetzelfde resultaat geeft als de grillige verandering. Het gemiddelde zal dan altijd tussen de snelste en de langzaamste echte snelheid in liggen. 
Als je Jan's trap-snelheidsfiguur neemt dan zie je dat de afgelegde weg (=oppervlakte onder de blauwgerande trap) hetzelfde is als onder de gemiddelde snelheid (de rode horizontale lijn). En dat is zo omdat in Jan's blauwe "echte" snelheid er een poosje veel sneller wordt gereden en daarna een poosje langzamer. Bij het rode "gemiddelde" is het "snellere" blokje verplaatst naar het gat dat valt bij het "langzame" blokje.
Beide oppervlakken zijn even groot (=zelfde afstand) alleen wordt die in het echt wat schokkerig bij verschillende snelheden afgelegd en in het gemiddelde geval met constante snelheid.
(leerlingen noemden dit ook ooit eens de "zand-bulldozer constructie": een oneffen lijn van echte snelheid wordt "gladgestreken" door de "top" in het "dal" te schuiven zodat een vlakke horizontale gelijkblijvende gemiddelde snelheid ontstaat.
:)
