Ik denk dat je het ingewikkelder maakt dan nodig.

De trekkracht van F = 3200t²  = m.a   Hieruit is a te bepalen want m is bekend.
Vervolgens kan met  d²x/dt² = dv/dt = a   met integratie de x(t) gevonden worden waarbij de integratieconstanten voor s₀=0 m  en v₀ = 2 m/s worden gebruikt om de onbepaalde integraal tot bepaalde te maken.

Sorry maar dit snap ik niet helemaal zou je deze vraag kunnen uitwerken wanneer je er tijd voor hebt? Eerlijk gezegd snap ik jou beredenatie niet, komt denk ik omdat ik al te diep in mijn eigen uitwerkingen zit. 

De kracht F bepaalt hoe (ver)snel(d) de kar omhoog getrokken wordt:
F = 3200 t²  Deze wordt echter tegengewerkt door de component van de zwaartekracht langs de helling, die gelijk is aan
F_zw = m.g.sin α = 400 . 9,81 . 8/17

De uiteindelijke kracht omhoog zal dan zijn:
F_res = 3200 t² - 3200/17 . 9,81  = m.a = 400.a
a = 8t² - 8/17 . 9,81 = 8t² - 4,62

v(t) = ∫ a dt = 8/3 t³ - 4,62 t + 2   (+ richting omhoog langs helling)
s(t) = ∫ v dt = 2/3 t⁴ - 2,31 t² + 2t + 0

En dan maar invullen voor t=2

Ik zal slecht lezen maar het verschil tussen opgaven 1.34 en 1.35 (Amerikaans R1.34 / R1.35) is marginaal

H1.35: s(t) = 2/3 .16 - 2,31. 4 + 2.2 = 5,43m
           v(t) = 8/3 . 8 - 4,62 . 2 + 2 = 14,1 m/s

Dat klopt met het boekantwoord van s=5,43 m voor H1.35 en v=14,1 m/s voor H1.34

Pff is inderdaad gewoon helder en duidelijk, bedankt hiervoor. Ik snap dan niet wat ik dan fout heb gedaan, als ik dan terug kijk naar mijn uitwerking klopt er helemaal niks van. 

Ergens las ik iets over een begintijd van rijden in je uitwerking. Dat zou een belletje moeten laten rinkelen: de begintijd in de tekst is t=0 en daarbij v=2 en s=0.

Daarnaast geldt (zoals Hibbler vooral doet)
p₁ + ∫ F.dt = p₂ (bij andere methoden vooral bekend als ∫ dp = ∫ F dt
immers F = dp/dt)

Maar dan moet je wel p₂ nemen (mv₂) en niet een kracht component F x 8/15. Dat is geen impuls maar een dp/dt (=F)