Voor het uitvoeren van fundamenteel onderzoek zijn deeltjesversnellers enorm belangrijk. In een artikel elders op deze site wordt de werking van de deeltjesversneller besproken. Deze opgave sluit aan op dat betreffende artikel. Wat betreft diepgang en moeilijkheidsgraad is het begin van deze opgave min of meer op examenniveau. De laatste twee deelvragen gaan een stapje verder en zijn daarmee een flinke uitdaging.
Vraag a: Toon aan dat de eenheid van het elektrische veld geschreven kan worden als N/C en V/m (gebruik eventueel BINAS tabel 4).
Er geldt dat
$\left [ E \right ] = \left [ F\right ] / \left [ q \right ] = N / C$
via $P = U * I$ en omdat Ampere geschreven kan worden als hoeveelheid lading per seconde, geldt dat:
$watt = volt * ampere = volt * coulomb / seconde$
en dus:
$coulomb = watt * seconde / volt = joule / volt = newton * meter / volt$
Hier is gebruikt gemaakt van het gegeven dat energie (Joule) een ktracht (Newton) maal ene afstand (meter) is. Door deze uitdrukkiing voor Coulomb in te vullen in de vorige eenheid voor het elektrische veld vinden we dat:
$\left [ E \right ] = N / C = NV / Nm = V /m$
De grootte van het elektrische veld voor een bepaalde deeltjesversneller is gegeven door
$E = A * cos (\omega t)$
met A de amplitude en ω de hoekfrequentie. Neem aan dat de richting van het elektrische veld parallel (of anti-parallel) is aan de bewegingsrichting van een deeltje.
Vraag b: Druk de trillingstijd van het signaal uit in ω.
De hoekfrequentie is gegeven door ω. Gebruik de eenheidscirkel: na ωt = 2π ben je rond. De trillingstijd is dus gegeven door:
$T = 2\pi /\omega$
Stel dat een deeltje met lading q zich op t = 0 in x = 0 bevindt met een snelheid van v0 = 0.
Vraag c: Leid een formule af voor de postitie van het deeltje als functie van t.
Antwoord c
De relatie tussen positie, snelheid en versnelling van een deeltje is gegeven door:
De kracht op een geladen deeltje ten gevolge van een elektrisch veld is gelijk aan:
De tweede wet van Newton geeft ons:
Waaruit volgt dat:
Als we hier de uitdrukking voor het elektrisch veld in invullen, vinden we dat:
Met E wordt de richting van het elektrisch veld bedoeld. Door de versnelling te integreren vinden we de snelheid:
Om een uitdrukking van de postitie van het deeltje te vinden moeten we nog een keer integreren:
Dit kan vereenvoudigd worden tot:
waarbij de richting gelijk is aan de richting van het elektrisch veld. Dit beschrijft een oscillatie - dat is precies de reden waarom als we het deeltje willen versnellen, het tijdelijk moet worden afgeschermd van het elektrische veld.
Neem aan dat het deeltje afgeschermd wordt van het elektrische veld als de grootte van het veld negatief is.
Vraag d: Hoe lang duurt het ongeveer voordat het deeltje een snelheid van 10000 m/s bereikt?
Ga uit van een amplitude van 10−6 N/C en een hoekfrequentie van 1000 · 2π rad/s. Neem daarnaast voor de massa en lading de rustmassa van een proton, en het elementaire ladingskwantum.
Antwoord d
De grootte van het elektrisch veld wordt gegeven door:
In de figuur is het positieve deel van cos (πx) weergegeven als functie van x. De kracht is in de richting van het elektrische veld en is parallel aan de beweging van het deeltje. Voor de versnelling van het deeltje geldt:
Elke piek zorgt voor een snelheidsverschil van het deeltje ter grootte van:
Zoals je in de figuur kunt zien, begint de kracht met een halve piek. de snelheid van het deeltje kan dus geschreven worden als:
Het aantal periodes dat nodig is om het deeltje te versnellen tot 10000 m/s is ongeveer gelijk aan Nperiodes = 52200. De tijd volgt dan uit:
Vraag e: Gebruik de definitie van het uitproduct en leg uit dat de Lorentzkracht niet gebruikt kan worden voor het versnellen van deeltjes.
Antwoord e
Volgens de definitie van het uitproduct staat de Lorentzkracht zowel loodrecht op v als B . Deze kracht die uitgeoefend wordt op het deeltje staat dus altijd loodrecht op zijn bewegingsrichting.
Als een kracht loodrecht staat op de bwewegingsrichting, wordt er per definitie geen arbeid verricht (P = F v cos ). Met andere woorden: het deeltje wordt alleen afgebogen, niet versneld.
Neem aan dat een geladen deeltje met massa m en lading q in een cyclotron een constante versnelling a in de richting van zijn snelheid ondervindt en dat het magnetische veld loodrecht staat op de snelheid van het deeltje. Om het deeltje in een baan met straal R te laten bewegen, moet het magnetisch veld goed ingesteld worden.
Vraag f: Leid een formule af voor de grootte van het magnetische veld als functie van de tijd t, de versnelling a, de massa m en de lading q van het deeltje, en de straal r van de baan.
Antwoord f
Een deeltje dat in een vaste baan om een middelpunt beweegt, moet een netto kracht ondervinden die gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht. De enige kracht die werkt op het deeltje is de Lorentzkracht. Er geldt dus:
Bij een constante versnelling a geldt:
Wanneer we dit combineren met de eerste vergelijking uit dit antwoord, vinden we:
