Een elektron is opgesloten in een doos met lengte L=3,33 . 10−10 m. Voor de energieën bij dit deeltje in een doos geldt En=n2 . 3,39 eV.
Vraag a. Laat dit zien.
De energieën bereken je met de formule voor de energie van een deeltje in een doos.
$E_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{8m \cdot L^2}$
Je moet dus laten zien dat:
$\frac{h^2}{8m \cdot L^2} = 3,\!39 \text{ eV}$
Invullen geeft:
$\frac{h^2}{8m \cdot L^2} = \frac{(6,\!6260 \cdot 10^{-34})^2}{8 \cdot 9,\!1093 \cdot 10^{-31} \cdot (3,\!33 \cdot 10^{-10})^2} = 5,\!4329 \cdot 10^{-19} \text{ J}$
Dit is gelijk aan:
$\frac{5,\!4329 \cdot 10^{-19}}{1,\!6021 \cdot 10^{-19}} \text{ eV} = 3,\!39 \text{ eV}$
Bij de overgang van n=2 naar n=1 wordt een foton uitgezonden. Het model van een elektron in een doos met lengte L=3,33 . 10−10 geeft dan voor de energie van dit foton dezelfde voorspelling als het model van een waterstofatoom.
Vraag b. Laat dat zien.
Voor de energie van het foton bij overgang van n=2 naar n=1 geldt:
$\Delta E = E_2 - E_1$
Voor het model van het deeltje in een doos geldt:
$\Delta E = (2^2 - 1^2) \cdot 3,\!39 \text{ eV} = 10,\!2 \text{ eV}$
Voor de energieën van het waterstofatoom geldt:
$E_n = - \frac{13,\!6 \text{ eV}}{n^2}$
en dus:
$\Delta E = - \frac{13,6 \text{ eV}}{2^2} - \Big(- \frac{13,6 \text{ eV}}{1^2} \Big) = 10,\!2 \text{ eV}$
In een atoomkern zitten geen elektronen, maar protonen en neutronen. De orde van grootte van de straal van een atoomkern is 104 keer zo klein als de straal van een atoom.
Het proton in een atoomkern kun je beschouwen als een deeltje in een doos. Door opname van energie kan een kern in een aangeslagen energieniveau komen.
Vraag c. Bereken de orde van grootte van de energieën die horen bij een overgang van de grondtoestand naar de eerste aangeslagen toestand.
De energieën van een deeltje in een doos bereken je met:
$E_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{8m \cdot L^2}$
De massa van proton is 1,007 u en die van een elektron 5,485∙10−4 u. De massa van een proton is dus ongeveer 1,8∙103 keer zo groot als de massa van een elektron. De afmeting L van de doos is echter 104 keer zo klein.
De waarde van $8m \cdot L^2$ verandert voor het proton in de atoomkern met:
$1,\!8 \cdot 10^3 \cdot (10^{-4})^2 = 1,\!8\cdot 10^{-5}$
Omdat h een constante is verandert de waarde van $\frac{h^2}{8m \cdot L^2}$ met een factor:
$\frac{1}{1,\!8 \cdot 10^{-5}} = 5,\!5 \cdot 10^4$
En de orde van grootte is dus: 105 eV. (ongeveer 10,2 (zie antwoord b) keer 5,5 . 104)
