In een radioactief preparaat bevindt zich een isotoop die β-deeltjes uitzendt. Om de energie van deze deeltjes te bepalen stuurt men ze door een magneetveld loodrecht op de bewegingsrichting. De β-deeltjes gaan daardoor een gedeelte van een cirkelbaan doorlopen. De opstelling staat schematisch in figuur 1.
Voor de straal van de cirkelbaan geldt de ‘klassieke’ formule:
$B \cdot e \cdot v = \frac{m \cdot v^2}{r} \rightarrow r = \frac{m \cdot v}{B \cdot e}$
De GM-telbuis is zo opgesteld dat de straal r van de baan 8,0 cm is. De telbuis meet de grootste hoeveelheid deeltjes per 10 s bij een magnetische veldsterkte B = 46 mT.
Vraag a. Bereken met bovenstaande gegevens de ‘klassieke’ snelheid van de β-deeltjes.
$v = \frac{r \cdot B \cdot e}{m} = \frac{0,\!080 \cdot 46 \cdot 10^{-3} \cdot 1,\!602 \cdot 10^{-19}}{9,\!1 \cdot 10^{-31}} = 6,\!5 \cdot 10^8 \text{ } ^m/_s$
De uitkomst is in tegenspraak met het feit dat deeltjes niet sneller kunnen gaan dan de lichtsnelheid. De massa die je voor het elektron gebruikt hebt, is de rustmassa en dat is niet juist bij zulke snelheden.
Vraag b. Bereken de snelheid nog eens met behulp van de relativistische massa in plaats van de rustmassa.
$v = \frac{r \cdot B \cdot e}{m}$
$m = \gamma \cdot m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$v = \frac{r \cdot B \cdot e \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m_0}$
Uitwerken geeft:
$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_0 \cdot v}{r \cdot B \cdot e}$
$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{v^2 \cdot m_0^2}{r^2 \cdot B^2 \cdot e^2} \rightarrow \frac{c^2}{v^2} - 1 = \frac{c^2 \cdot m_0^2}{r^2 \cdot B^2 \cdot e^2}$
$\frac{c^2}{v^2} = \frac{c^2 \cdot m_0^2 + r^2 \cdot B^2 \cdot e^2}{r^2 \cdot B^2 \cdot e^2} \rightarrow \frac{v^2}{c^2} = \frac{r^2 \cdot B^2 \cdot e^2}{c^2 \cdot m_0^2 + r^2 \cdot B^2 \cdot e^2}$
$v = \sqrt{\frac{r^2 \cdot B^2 \cdot e^2 \cdot c^2}{m_0^2 \cdot c^2 + r^2 \cdot B^2 \cdot e^2}}$
Invullen geeft nu:
$v = 2,\!7 \cdot 10^8 \text{ } ^m/_s$
Vraag c. Bereken de relativistische massa.
$\gamma = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{2,\!7^2}{3,\!0^2}}} = 2,\!3$
$m = \gamma \cdot m_0 = 2,\!3 \cdot 9,\!1 \cdot 10^{-31} = 2,\!1 \cdot 10^{-30} \text{ kg}$
Vraag d. Bereken de totale energie en de kinetische energie van de β-deeltjes in MeV.
$E = mc^2 = 2,\!1 \cdot 10^{-30} \cdot (3,\!0 \cdot 10^8)^2 = 1,\!9 \cdot 10^{-13} \text{ J} = 1,\!2 \text{ MeV}$
$E_0 = m_0c^2 = 9,\!1 \cdot 10^{-31} \cdot (3,\!0 \cdot 10^8)^2 = 0,\!82 \cdot 10^{-13} \text{ J} = 0,\!51 \text{ MeV}$
$E_k = E - E_0 = (1,\!9 - 0,\!8) \cdot 10^{-13} \text{ J} = 1,\!1 \cdot 10^{-13} \text{ J} = 0,\!67 \text{ MeV}$
Voor de absorptie van energie van de deeltjes in het preparaat en in hun baan door de lucht naar de teller moeten we nog een correctie van 0,08 MeV toepassen.
Vraag e. Bereken de kinetische energie na correctie.
$E_k = 0,\!67 + 0,\!08 = 0,\!75 \text{ MeV}$
